Frans van Schooten en de landmeetkunde

Inleiding

Deze scriptie gaat over een boek van de Nederlandse wiskundige Frans van Schooten (1615/6-1660). Deze wordt in overzichtswerken van de geschiedenis van de wiskunde altijd genoemd als verbreid er van de ideeën van Descartes. Zijn Latijnse vertaling van Descartes' La géométrie is van groot historisch belang geweest. Het is niet overdreven te stellen dat de Cartesiaanse revolutie in de wiskunde (zo men hiervan wil spreken) voor een groot deel te danken is aan Van Schootens vertaling van en commentaar bij La géométrie.
Van Schooten wordt ook vaak genoemd als leraar van een aantal belangrijke Nederlandse wetenschappers, w.o. Christiaan Huygens.
In deze scriptie zal echter een ander aspect van Van Schooten aan de orde komen, nl. Van Schooten als auteur van de Mathematische oeffenmgen, verschenen in 1659 en 1660. De latijnse versie verscheen in 1657. Dit werk bestaat uit vijf los van elkaar staande boeken. Deze scriptie gaat over het tweede boek.l Hierin worden de mogelijkheden onderzocht van een manier van meetkundig construeren die afwijkt van de traditionele manier met passer en liniaal. Van Schooten vervangt Euclides' derde postulaat, dat het gebruik van de passer sanctioneert, door een constructieregel die toestaat dat lijnstukken worden overgedragen.
Het tweede boek van de "Mathematische Oeffeningen" (MOII) heeft een aantal land meetkundige trekken, zoals het feit dat de constructies worden uitgevoerd op het veld en dat een serie problemen aan de landmeetkunde is ontleend. Aan de andere kant zet Van Schooten zich op een aantal punten juist af tegen de land meetkundige praktijk van zijn tijd.
De vraag is of MOII als een land meetkundige of als een zuiver-meetkundige verhandeling moet worden gezien. Om deze vraag te beantwoorden worden in de scriptie de verschillen en overeen­komsten onderzocht tussen MOII en de landmeetkunde. Het gaat daarbij om de vraag of Van Schootens oplossingen ook in de landmeetkunde aanwezig waren. Deze vraag valt in twee vragen uiteen: 1. w.b. de landmeetkunde vààr het verschijnen van MOllen 2. w.b. de landmeetkunde na het verschijnen van MOII. Met de tweede vraag is ook de vraag beantwoord of Van Schooten invloed heeft uitgeoefend op de landmeetkunde.
De vraag is verder als volgt toegespitst: Zijn Van Schootens ideeën aanwezig in de Nederlandse handboeken landmeetkunde uit de 17e en de 18e eeuw? Manuscripten en buitenlandse boeken zijn, op twee uitzonderingen na, buiten beschouwing gelaten. Het resultaat van dit onderzoek is een gedetailleerde vergelijking tussen Van Schooten en de landmeetkunde. Op basis hiervan is het mogelijk om tot een karakterisering te komen: Moet Van Schooten als een landmeter beschouwd worden of niet? Tot welke traditie in de wiskunde behoort zijn boek?
Het is duidelijk dat MOII niet tot de hoofdstroom van de 17e-eeuwse wiskunde behoort. Overzichtswerken van de geschiedenis van de wiskunde spreken, als het over het midden van de 17e eeuw gaat, m.n. over de analytische meetkunde en de infinitesimaalrekening, twee takken van de wiskunde die toen in opkomst waren en voor de toekomst van de wiskunde uitermate belangrijk.
Het is niet zo dat Van Schooten met deze takken van de wiskunde niets te maken heeft gehad. Sterker nog, met zijn vertaling van La géométrie van Descartes heeft hij in deze traditie een belangrijke rol gespeeld. Van enig samengaan van meetkunde en algebra, zoals dat in La géométrie wordt beoefend, is in MOll echter in het geheel geen sprake.
De conclusie van deze scriptie is dat MOll, ondanks de relaties die het heeft met de landmeetkunde, niet als een vorm van landmeetkunde kan worden beschouwd, maar als een vorm van zuivere meetkunde. De traditie waar het boek eigenlijk in thuishoort is die van het construeerbaarheidsonderzoek: Wat kan geconstrueerd worden met welke meetkundige hulpmiddelen?
Deze traditie is ouder dan Van Schooten. De eerste van wie bekend is dat hij probeerde om Euclides' constructieproblemen op te lossen met een ander instrumentarium dan passer en liniaal is de Arabier Aboe-I-Wafa. Daarna hebben verspreid over de eeuwen verscheidene personen zich met deze vraag bezig gehouden. Andere bekende namen zijn die van Georg Mohr, Lorenzo Mascheroni, Jean-Victor Poncelet en Jacob Steiner. Rond 1900 groeide dit onderzoek uit tot een hoofd stroom in de wiskunde en werden Van Schootens resultaten opnieuw ontdekt. In deze traditie moet het boek van Van Schooten m.i. gezien worden.

De thema' s van de appendices hangen op verschillende manieren met het boek van Van Schooten samen.
Appendix A gaat over één boek van het uit vier tractaten bestaande Geometria practica nova et aucta, verschenen rond 1625, van de Duitse wiskundige Daniel Schwenter, dat wezenlijke overeen­komsten vertoont met MOll.
Appendix B gaat over een manier van construeren die zeer dicht bij die van Van Schooten staat, nl. het overdragen van hoeken i. p. v. lijnstukken. Met deze methode kunnen sommige van de problemen die hij behandelt sneller opgelost worden dan met zijn eigen methode.
In appendix C worden een aantal resultaten van het moderne construeerbaarheidsonderzoek genoemd die direct verband houden met de constructies van Van Schooten.
In appendix D zijn de definities, postulaten, axioma' s en stellingen van Euclides waarnaar in de scriptie wordt verwezen op een rijtje gezet.

---

HET TWEEDE BOEK DER MATHEMATISCHE OEFFENINGEN VAN FRANS VAN SCHOOTEN UIT 1660.

2.1 Frans van Schooten. Leven en werken.

Frans van Schooten werd in 1615 of 1616 geboren te Leiden als zoon van Frans van Schooten sr. Laatstgenoemde was hoogleraar wiskunde aan de Leidse universiteit en de daarmee verbonden Ingenieursschool. Van Schooten jr. studeerde wiskunde aan de Leidse universteit, o.a. bij Jacob Gool (Golius) en viel vanaf 1635 af en toe in voor zijn vader. Waarschijnlijk via Golius leert hij omstreeks deze tijd René Descartes (1596-1650) kennen. Van Schooten werd een leerling van Descartes en zou dat in figuurlijke zin zijn leven lang blijven. Tussen 1641 en 1643 verbleef hij in Frankrijk en ontmoette daar andere wiskundigen en wetenschappers, zoals Florimond Debaune, Marin Mersenne, Gilles Persone de Roberval en Claude Hardy. Na de dood van zijn vader in 1645 volgde hij deze op als leraar aan de Ingenieursschool.
De Leidse Ingenieursschool was een op initiatief van stadhouder Maurits in 1600 opgerichte school om ingenieurs op te leiden voor het leger van de Republiek. Het onderwijsprogramma heette 'Duytsche Mathematique', welke naam verwijst naar het feit dat het onderwijs in het Nederlands gegeven werd en niet in het latijn, zoals op de universiteiten. Het onderwijsprogramma was opgesteld door Simon Stevin en omvatte rekenkunde, landmeetkunde en de bouw van verdedigingswerken. In de zomer verbleven de leerlingen in het Nederlandse leger om praktijkervaring op te doen. De militaire context van de school komt sterk tot uitdrukking in het feit dat de leerlingen bij het begin van hun studie de belofte moesten doen na de opleiding niet in vijandelijke dienst te treden.
Van Schootens ontmoeting met Descartes en zijn werk als leraar aan de Ingenieursschool kunnen beschouwd worden als bepalende factoren voor de inhoud van het tweede boek der "Mathematische Oeffeningen".
Na zijn terugkeer uit Frankrijk in 1643 ontstond rond Van Schooten een kring van privé-leerlingen, afkomstig uit de sociale elite van de Republiek, waarvan de belangrijkste waren: Johannes Hudde (vele malen burgemeester van Amsterdam), Johan de Witt , (raadpensionaris tussen 1650 en 1672), Hendrick van Heuraet en Christiaan Huygens. ,..
In 1646 verzorgde Van Schooten een, onvolledige, uitgave van de wiskundige werken van François Viète (1540-1603).
In het zelfde jaar verscheen ook zijn eerste oorspronkelijke werk: De organica conicarum sectionwn constructione over de constructie van kegelsneden door middel van instrumenten. Deze tekst verscheen later als vierde boek der Exercitationes mathematicae.
In 1649 kwam de eerste uitgave van zijn vertaling van Descartes' La Géométrie uit. (De oorspronkelijke versie verscheen in 1637.). Aan de vertaling voegde hij uitgebreid commentaar toe en de Notae breves van Debaune. Tussen 1659 en 1661 verscheen in twee delen een uitgebreidere tweede editie, waarin ook teksten van Hudde en Van Heuraet waren opgenomen. Het is deze editie geweest die geleid heeft tot de internationale doorbraak van de wiskunde van Descartes. Daarna verschenen nog twee edities van de Geometria in 1683 en 1695.
In 1657 publiceerde Van Schooten de Exercitationum mathematicarum libri quinque en in 1659 en 1660 een Nederlandse vertaling hiervan onder de titel "Mathematische Oeffeningen". In het algemeen kan men zeggen dat Van Schootens leerlingen hem in wiskundig opzicht voorbij hebben gestreefd: Van Schooten bleef stilstaan bij het werk van Descartes, terwijl zijn leerlingen Descartes' ideeën uitbouwden in de richting van de analyse. Na zijn dood in 1660 werd hij als leraar aan de Ingenieursschool opgevolgd door zijn halfbroer Petrus van Schooten.

2.2 De opzet van het tweede boek der "Mathematische Oeffeningen".

Het boek, verschenen in 1660, gaat o.a. over elementaire constructies, zoals deze aanwezig zijn in Euclides' Elementen, en over constructies om het land meetkundige probleem van de ontoegankelijke punten op te lossen. Van Schooten wil deze constructies op een zuiver meetkundige manier uitvoeren. Om duidelijk te maken wat hij hieronder verstaat geeft hij in het voorwoord aan op welke punten hij de landmeetkunde volgt en op welke punten hij hiervan afwijkt. Hier wordt deze plaatsbepaling weergegeven. In 2.8 volgt commentaar op op deze plaatsbepaling.

Van Schooten en de landmeetkunde

In zijn wijze van construeren ontleent Van Schooten twee dingen aan de landmeetkunde. Ten eerste voert hij zijn constructies uit op het veld in plaats van op het papier, ten tweede brengt de land meetkundige praktijk hem op het idee om geen gebruik te maken van cirkels als constructiemiddelen.
Wat het eerste punt betreft, Van Schooten stelt dat het veld geschikter is dan het papier om meetkundige constructies uit te voeren, aangezien je op het veld kunt werken met zichtlijnen, waarbij lijnen bepaald zijn door twee stokken.
Wat het tweede punt betreft, op papier is het mogelijk cirkels te beschrijven met een passer. Overeenkomstig is het op het veld mogelijk een meetketting of stok te draaien waarbij één uiteinde vast staat. Maar de mogelijkheden daartoe zijn beperkt. Als de te beschrijven cirkel of cirkelboog groot is, kunnen .bomen en andere objecten in het veld gauw een hindernis vormen. Landmeters construeren alleen cirkels in een kleine ruimte. In hoofdstuk 1 zijn slechts op één plaats cirkels geconstrueerd, nl. waar Stevin een rechte hoek construeert door twee meetlatten te roteren tot de uiteinden samenvallen. We zullen deze methode later nog tegenkomen bij Morgenster & Knoop en Schwenter.
Van Schooten sluit hierbij aan. Hij voert zijn constructies uit zonder cirkels. Anders dan de landmeters geeft hij hiervoor geen praktisch, maar een theoretisch argument. Hij stelt dat in het begrip van de cirkel een oneindigheidsbegrip vervat zit. Euclides' definitie van de cirkel luidt: 'Een cirkel is een vlak figuur bestaande uit één lijn, zodanig dat alle rechte lijnen die op deze lijn vallen vanuit één van de punten binnen het figuur gelijk zijn aan elkaar. Het aantal lijnstukken waarover in deze definitie gesproken wordt is oneindig. Van Schooten zet een manier van construeren op, die slechts een eindig aantal lijnstukken omvat.
Op bovengenoemde twee punten volgt Van Schooten dus de landmeters. Op twee andere punten wil hij zijn constructies juist anders uitvoeren dan de landmeters. In de eerste plaats gebruiken landmeters, zoals uit hoofdstuk I duidelijk is geworden, vaak rekenkundige procedures. Rekenkunde past echter niet in Van Schootens voorstelling van zuivere meetkunde. In zuivere meetkunde, zoals bijv. die van Euclides, gaat het alleen om stellingen, constructies en bewijzen en worden grootheden als lijnstukken en hoeken niet in getallen uitgedrukt.
Ten tweede wil Van Schooten niet van de typische landmetersinstrumenten gebruik maken. Ten eerste omdat een aantal van deze instrumenten een meetaspect hebben, d. w.z. het instrument kent aan een grootheid een getal toe. Hier hangt mee samen dat veel van deze instrumenten, zoals de cirkel van Dou en het meetkundig vierkant, vaak alleen gebruikt kunnen worden als er ook gerekend wordt. Ten tweede omdat veel van deze instrumenten meetkundige constructies veronderstellen. Als je bijv. een rechte hoek construeert met een meetkruis of een cirkel van Dou, rijst de vraag hoe deze rechte hoek in het instrument is gekomen. De verdeling van een cirkel in 360 graden veronderstelt in nog veel sterkere mate meetkundige constructies dan een rechte hoek. Van Schooten stelt dat het oneigen is aan de meetkunde eenvoudige problemen

---

2.6 Vierde afdeling. Constructies met ontoegankelijke en beperkt toegankelijke punten en ontoegankelijke rechten.

Deze afdeling gaat, net als de eerste en de tweede, over 'simpele' constructies in het veld, dus over constructies uitgevoerd met alleen stokken en meetlatten, met dit verschil dat nu één of meer van de volgende beperkingen gelden:

1. In de constructie speelt een lijnstuk een rol waarvan één uiteinde ontoegankelijk is (problemen 1, 3 en 4).
2. Het te construeren punt ligt in het water (problemen 2-6).
3. In de constructie speelt een lijnstuk een rol dat op een ontoegankelijke rechte ligt (problemen 7-12).
4. Bij sommige problemen stelt Van Schooten als extra eis dat de constructie in een beperkte ruimte wordt uitgevoerd.

Uit de manier waarop Van Schooten de problemen 2 t/m 6 oplost kan worden opgemaakt dat de tweede beperking inhoudt dat alleen het te construeren punt in het water mag worden uitgezet en geen hulppunten. Het te construeren punt wordt niet gevonden door langs een rechte een lengtemaat af te passen, zoals op het land zou gebeuren, maar door het snijpunt te zoeken van twee zichtlijnen bepaald door 2 paar stokken op het land. Dergelijke in het water gelegen punten zou je 'beperkt toegankelijk' kunnen noemen. 45
De vraagstukken 1, 8 en 10 hebben als doel de bepaling van de lengte van een lijnstuk waarvan één uiteinde ontoegankelijk is, of dat op een ontoegankelijke rechte ligt. Bij deze lengtebepalingen is er een scheiding tussen constructie en opmeting. Eerst wordt er een lijnstuk geconstrueerd dat 1. gelijk is aan of 2. in een bekende verhouding staat tot het gedeeltelijk of geheel ontoegankelijke lijnstuk, daarna wordt het geconstrueerde lijnstuk opgemeten, en in het tweede geval bovendien vermenigvuldigd met een bepaalde factor.

Van Schooten is tot het schrijven van de ' Aenhang' gekomen door het lezen van het tractaat Geometria peregrinans, verschenen tussen 1643 en 1648, van de Poolse wiskundige, kartograaf en dichter Maciej Gloskowski. 46 Gloskowski formuleerde in dit tractaat een aantal land meetkundige opgaven en beweerde dat deze oplosbaar zijn met alleen een 'rechte lijn'. Hij nodigde de lezers uit de oplossingen te vinden. Zelf zei hij de oplossingen gevonden te hebben. 47
Van Schooten schrijft dat hij met het lezen van dit tractaat voor het eerst vernam dat ook anderen met het idee van constructies met alleen stokken en meetlatten bezig waren. 48 Hij nam de uitdaging aan en de 'Aenhang' is hiervan het resultaat. Mogelijk is het boek van Gloskowski een stimulans geweest voor het hele tweede boek van Van Schooten. Gloskowski formuleerde alleen problemen met een ontoegankelijke rechte. De eerste 6 problemen zijn dus afkomstig van Van Schooten zelf. Hij zegt van 2 van de 16 problemen die Gloskowski formuleert dat deze niet zonder meetkruis op te lossen zijn. 49 Van Schooten geeft bij de meeste problemen meerdere oplossingen. Bewijzen voor de constructies ontbreken in deze afdeling. Mogelijk wilde hij, net als Gloskowski, voor zijn lezers nog iets te doen overlaten.

45. Het probleem van het uitzetten van punten in het water heb ik bij de landmeters niet gevonden als apart probleem. De constructies die Van Schooten hier geeft zijn niet bij de landmeters te vinden.
46. Konopczybnski, 1935, deel VIII, pp. 114-117.
47. Gloskowski, 1643-1648, ff. 25r-26r en Van Schooten, 1660, pp. 153-156.
48. Van Schooten, 1660, pp. 155-156.
49. Idem, pp. 156 en 182.

---

A DANIEL SCHWENTER.

A.I Inleiding.

Rond 1625 verscheen het uit vier tractaten bestaande Geometria practica nova et aucta van de wiskundige en oriëntalist Daniel Schwenter (1585-1636). Het eerste boek van het tweede tractaat 1 is verwant aan het tweede boek van de "Mathematische Oeffeningen". In dit boek behandelt Schwenter landmetersproblemen van het horizontale vlak.
Wat Schwenter interessant maakt voor deze scriptie is dat hij op een aantal punten dichter bij Van Schooten staat dan de Nederlandse landmeters. Net als Van Schooten liet hij zien hoe de landmetersproblemen zonder specifieke landmetersinstrumenten kunnen worden opgelost. De titel van het tweede tractaat luidt: Ohne einig künstlich Geometrisch Instrument/ allein mit der Messrute und etlichen Stäben das Land zu messen. Behalve stokken en meetlatten met schaalverdeling gebruikt hij ook een meetketting.
Wat was Schwenters motief om zich tot dit instrumentarium te beperken? Hij constateerde dat de meetlat, de meetstang en het meettouw de enige landmetersinstrumenten zijn die in het Oude Testament genoemd worden. Hij vroeg zich af hoe de mensen over wie in het Oude Testament geschreven wordt, hun constructies uitvoerden. 2
Schwenter wil niet een pleidooi voeren voor de afschaffing van de landmetersinstrumenten. In het derde en vierde tractaat besteedt hij zelf uitgebreid aandacht aan deze instrumenten. 3 Volgens hem hebben in sommige gevallen oplossingen met alleen meetlatten en stokken de voorkeur boven oplossingen met specifieke instrumenten - op meerdere plaatsen noemt hij deze oplossingen 'zekerder' - , in andere gevallen kan beter met instrumenten gewerkt worden. De landmeter moet per geval beoordelen welke oplossing de beste is. Als de landmeter geen instrumenten tot zijn beschikking heeft, kan hij in ieder geval de in het tweede tractaat beschreven oplossingen uitvoeren. Immers stokken zijn meestal wel voorhanden. 4
Een andere overeen­komst met Van Schooten is dat bij meerdere van zijn oplossingen niet gerekend hoeft te worden, hoewel dit bij Schwenter geen expliciet uitgangspunt is. Ik zal de meeste van die problemen uit Schwenters boek behandelen die de genoemde overeen­komsten vertonen. 5 Centraal staan daarbij de twee problemen met de ontoegankelijke punten en rechten, die in de vorige hoofdstukken aan de orde kwamen. Aan het slot van deze appendix wordt een vergelijking gemaakt tussen Schwenter en Van Schooten.

1. Het tweede tractaat was eerder afzonderlijk verschenen in 1618. Zie Poggendorff, 1863, p. 878.
2. Schwenter, 1641, voorwoord tot het tweede tractaat, p. 8, regels 25-28. Overigens is Schwenters visie op het ontstaan van de meetkunde te fraai om ongenoemd blijven. Hij bestrijdt de visie dat Thales als eerste de meetkunde ontdekt heeft bij de uit zijn oevers tredende Nijl en stelt dat de meetkunde reeds vóór Thales bestond. Hij geeft enkele citaten uit het Oude Testament, waarin van meten en meetinstrumenten sprake is, waarop hij laat volgen: ' Also dass kein Zweiffel/ die Geometria vom H. Geist durch die [d. w. z. de passages uit het Oude Testament, J .0.] geoffenbaret/ und die erste Erfindung den Heyden nit zuzuschreiben sey' (Idem, p. 8, regels 18-20).
3. Idem, p. 9, regels 1-9.
4. Idem, p. 9, regels 9-22.
5. Schwenter geeft ook oplossingen met de regel van drieën.

---

4 SAMENVATTING

Centraal in deze scriptie staat het tweede boek van de "Mathematische Oeffeningen" uit 1660 van Frans van Schooten (MOIl). Dit boek gaat over elementaire meetkundige constructies, en problemen waarbij niet alle punten in het vlak toegankelijk zijn.

Van Schootens manier van construeren heeft de volgende eigenschappen:

1. De constructies worden uitgevoerd in het veld.
2. Bij het construeren worden geen cirkels beschreven. Deze manier van construeren wijkt dus af van de traditionele manier.
3. Het enige instrument dat gebruikt wordt is een meetlat zonder schaalverdeling. Dit instrument, waarmee lijnstukken overgedragen kunnen worden, veronderstelt geen meetkundige constructies. (In de derde afdeling van het boek wordt het landmeterskruis erbij gebruikt om enkele vlakke problemen op te lossen, die met alleen een meetlat onoplosbaar zijn.)
4. De lengte van lijnstukken, noch de grootte van hoeken wordt in een getal uitgedrukt. De eerste twee punten heeft Van Schooten aan de landmeetkunde ontleend. De laatste twee wijken juist af van de landmeetkunde.

De vraag rijst of MOII als een land meetkundige verhandeling moet worden beschouwd of niet. Om deze vraag te beantwoorden hebben we bekeken hoe de landmeters de elementaire problemen en de problemen met de ontoegankelijke punten te lijf gingen. Ten eerste gebruiken landmeters instrumenten die constructies veronderstellen. Bij sommige oplossingen is datgene wat gevraagd wordt te construeren zelfs verondersteld in het gebruikte instrument. Ten tweede hebben veel van de landmetersinstrumenten een meetaspect, d.w.z. dat m.b.v. het instrument de lengte van een lijnstuk of de grootte van een hoek in een getal wordt uitgedrukt. Deze getallen spelen een rol in de oplossing. De oplossingen van land meetkundigen zijn niet zuiver-meetkundig. Wat betreft instrumenten en rekenkunde is er dus een groot verschil tussen Van Schooten en de landmeetkunde.
Zo kom ik tot de conclusie dat MOII geen landmeetkundige verhandeling is, maar in de traditie van construeerbaarheid staat, d. w. z. dat de vraag centraal staat wat geconstrueerd kan worden met welke instrumenten en welke constructieregels. In de landmeetkunde spelen praktische waarden als nauwkeurigheid en snelheid een rol. Van Schooten gaat het om theoretische zuiverheid.
Hiermee is de plaatsbepaling van MOII voltooid en de belangrijkste vraag van de scriptie beantwoord.
Ondanks dat MOII geen land meetkundige verhandeling is, heeft het wel invloed uitgeoefend op de landmeetkunde, nl. op het handboek van Morgenster. Deze baseert één van zijn oplossingsmethoden op die van Van Schooten en neemt de meeste van Van Schootens elementaire constructies over.