substitutie

1.   

   • Opdracht Gegeven het product P en het verschil van de derde machten U van twee onbekende getallen, het grootste getal is A en het kleinste getal is B.	Stelsel vergelijkingen A × B = P A3 − B3 = U
     Uitwerking Gegeven zijn A × B = P en A3 − B3 = U. Neem T2 = U2 + 4P3 Omdat U2 + 4P3 = (A3 − B3)2 + 4(A × B)3, daarom T2 = A6 − 2A3B3 + B6 + 4A3B3, dus T2 = A6 + 2A3B3 + B6, dus T2 = (A3 + B3)2, zodat T = A3 + B3. Uit T + U = 2A3 (zie boek 2 zetetic 14) volgt A = √3 ½T + ½U . Evenzo uit T − U = 2B3 volgt B = √3 ½T − ½U .	Voorbeeld Gegeven zijn het product P = 15 en het verschil van de derde machten U = 98.   Uit T2 = U2 + 4P3 volgt T = 152, uit A = √3 ½T + ½U volgt A = 5, uit B = √3 ½T − ½U volgt B = 3.   Het product P is inderdaad 5 × 3 = 15 en het verschil van de derde machten U is inderdaad 53 − 33 = 98.

eliminatie

1.   

   • Eliminatie

     A · B = P A3 − B3 = U

     =

     B =  P A B3 = A3 − U

     dus A3 − U = ( P )3 A

     dus (A3)2 − U (A3) − P3 = 0

     etc..

     Dit is een kwadratische vergelijking in A³.

voorbeelden

1.   

   • Voorbeelden

     Product / Verschil Derde Machten

     P=2

     P=3

     P=4

     P=5

     P=6

     P=8

     P=10

     P=12

     P=15

     P=18

     P=20

     P=24

     P=30

     P=42

     P=56

     U=7

     A=2 B=1

     U=19

     A=3 B=2

     U=26

     A=3 B=1

     U=37

     A=4 B=3

     U=56

     A=4 B=2

     U=61

     A=5 B=4

     U=63

     A=4 B=1

     U=91

     A=6 B=5

     U=98

     A=5 B=3

     U=117

     A=5 B=2

     U=124

     A=5 B=1

     U=127

     A=7 B=6

     U=152

     A=6 B=4

     U=169

     A=8 B=7

     U=189

     A=6 B=3