substitutie

1.   

   • Opdracht Gegeven de som S en de som van de derde machten T van twee onbekende getallen, het grootste getal is A en het kleinste getal is B.

     Stelsel vergelijkingen A + B = S A3 + B3 = T

     Uitwerking Gegeven zijn A + B = S en A3 + B3 = T. Neem V =  A − B, zodat V2 =  A2 − 2AB + B2. Neem V2S. Uit V2S = (A − B)2 (A + B), volgt V2S = A3 − A2B − AB2 − B3, Neem 4T − S3. Uit 4T − S3 = 4(A3 + B3) − (A + B)3, volgt 4T − S3 = 4A3 + 4B3 − (A3 +3A2B + 3AB2 + B3), dus 4T − S3 = 3A3 − 3A2B − 3AB2 + 3B3, dus 4T − S3 = 3(A3 − A2B − AB2 + B3), dus 4T − S3 = 3 V2S. dus V2 =  4T − S3 3 S . Uit gegeven S = A + B en uit berekend V = A − B volgt A = ½S + ½V (zie boek 2 zetetic 2) waardoor B = ½S − ½V.

     Voorbeeld Gegeven zijn de som S = 8 en de som van de derde machten T = 152.   Uit V2 =  4T − S3 3 S volgt V = 2, uit A = ½S + ½V volgt A = 5, uit B = ½S − ½V volgt B = 3.   De som S is inderdaad 5 + 3 = 8 en de som van de derde machten T is inderdaad 53 + 33 = 152.

alternatief

1.   

   • Opdracht Gegeven de som S en de som van de derde machten T van twee onbekende getallen, het grootste getal is A en het kleinste getal is B.
     Alternatieve uitwerking Gegeven zijn A + B = S en A3 + B3 = T. Uit S3 − T = 3A2B + 3AB2 volgt dat S3 −T = 3 AB (A + B). Omdat P = A×B geldt nu dat P =  S3 − T 3 S . waardoor de opdracht herleid is tot het eeerdere vraagstuk: Gegeven het product P en de som S van twee onbekende getallen A en B. boek 2 zetetic 4: gegeven product P en som S	Voorbeeld Gegeven zijn de som S = 8 en de som van de derde machten T = 152.   Uit P =  S3 − T 3 S volgt P = 15, en daarom A = 5 en B = 3.   De som S is inderdaad 5 + 3 = 8 en de som van de derde machten T is inderdaad 53 + 33 = 152.

voorbeelden

1.   

   • Voorbeelden

     Som / Som Derde Machten	S=3	S=4	S=5	S=6	S=7	S=8	S=9	S=10
     T=9	A=2 B=1
     T=28		A=3 B=1
     T=35			A=3 B=2
     T=65			A=4 B=1
     T=72				A=4 B=2
     T=91					A=4 B=3
     T=126				A=5 B=1
     T=133					A=5 B=2
     T=152						A=5 B=3
     T=189							A=5 B=4
     T=217					A=6 B=1
     T=224						A=6 B=2
     T=243							A=6 B=3
     T=280								A=6 B=4