2-19 Zetetic

Gegeven het verschil V en het verschil van de derde machten U van twee onbekende getallen, het grootste getal is A en het kleinste getal is B.

Voorbeeld: gegeven zijn het verschil V = 2 en het verschil van de derde machten U = 98.
De gevraagde getallen zijn A = 5 en B = 3.
Het verschil V is inderdaad 5 − 3 = 2 en het verschil van de derde machten U is inderdaad 53 − 33 = 98.

V,U

stelsel vergelijkingen

  1.   

    • Stelsel vergelijkingen
      A − B = V
      A3 − B3 = U

substitutie

  1.   

    • Opdracht

      Gegeven het verschil V en het verschil van de derde machten U van twee onbekende getallen, het grootste getal is A en het kleinste getal is B.

      Stelsel vergelijkingen
      A − B = V
      A3 − B3 = U

      Uitwerking

      Gegeven zijn A − B = V en A3 − B3 = U.
      Neem U − V3.
      Omdat U − V3 = (A3 − B3) − (A − B)3,
      daarom U − V3 = A3 − B3 − (A3 − 3A2B + 3AB2 − B3),
      dus U − V3 = 3A2B − 3AB2,
      dus U − V3 = 3AB(A − B).
      Neem P = A × B,
      dan U − V3 = 3 × P × V,
      dus
      P =U − V3
      3 V
      .
      Neem S2 = V2 + 4P,
      zodat S2 = (A − B)2 + 4AB,
      dus S2 = (A + B)2. (zie boek 2 zetetic 4)
      Uit gegeven V = A − B en uit berekend S = A + B
      volgt A = ½S + ½V (zie boek 2 zetetic 2)
      waardoor B = ½S − ½V.

      Voorbeeld

      Gegeven zijn het verschil V = 2
      en het verschil van de derde machten U = 98.
       
      Uit
      P =U − V3
      3 V
      volgt P = 15,
      uit S2 = V2 + 4P volgt S = 8,
      uit A = ½S + ½V volgt A = 5,
      uit B = ½S − ½V volgt B = 3.
       
      Het verschil V is inderdaad 5 − 3 = 2
      en het verschil van de derde machten U is inderdaad 53 − 33 = 98.