substitutie

1.   

   • Opdracht Gegeven het product P en het verschil van de kwadraten D van twee onbekende getallen, het grootste getal is A en het kleinste getal is B.

     Stelsel vergelijkingen A × B = P A2 − B2 = D

     Uitwerking Gegeven zijn A × B = P en A2 − B2 = D met D2 = (A2 − B2)2 = A4 − 2A2B2 + B4. Neem K = A2 + B2, dan K2 = (A2 + B2)2 = A4 + 2A2B2 + B4, dus K2 = D2 + 4P2. Neem S = A + B, dan S2 = (A + B)2 = A2 + B2 + 2AB, dus S2 = K + 2P. Neem V = A − B, dan V2 = (A − B)2 = A2 + B2 − 2AB, dus V2 = K − 2P. Uit gegeven V = A − B en berekend S = A + B volgt A = ½S + ½V (zie boek 2 zetetic 2) en B = ½S − ½V.

     Voorbeeld Gegeven zijn het product P = 15 en het verschil van de kwadraten D = 16.   Uit K2 = D2 + 4P2 volgt K = 34, uit S2 = K + 2P volgt S = 8, uit V2 = K − 2P volgt V = 2, uit A = ½S + ½V volgt A = 5, uit B = ½S − ½V volgt B = 3.   Het product P is inderdaad 5 × 3 = 15 en het verschil van de kwadraten D is inderdaad 52 − 32 = 16.

substitutie alternatief

1.   

   • Uitwerking 2 Gegeven A × B = P en A2 − B2 = D. Neem K2 = D2 + 4P2, zodat K2 = (A2 − B2)2 + 4A2B2, dus K2 = A4 − 2A2B2 + B4 + 4A2B2, dus K2 = A4 + 2A2B2 + B4, dus K2 =  (A2 + B2)2. Uit K + D = 2A2 en K − D = 2B2 volgt A = ½K + ½D en B = ½K − ½D .

     Voorbeeld 2 Gegeven zijn het product P = 15 en het verschil van de kwadraten D = 16.   Uit K2 = D2 + 4P2 volgt K = 34, uit A = ½K + ½D volgt A = 17 + 8 = 5 , uit B = ½K − ½D , volgt B = 17 − 8 = 3 .   Het product P is inderdaad 5 × 3 = 15 en het verschil van de kwadraten D is inderdaad 52 − 32 = 16.

eliminatie

1.   

   • Eliminatie

     A · B = P A2 − B2 = D

     =

     B2 =  P2 A2 B2 = A2 − D

     
      
     dus

     A2 − D =	P2
     A2

     dus

     A4 − D A2 − P2 = 0

     etc..

voorbeelden

1.   

   • Voorbeelden Product / Verschil Kwadraten P=2 P=3 P=4 P=5 P=6 P=7 P=8 P=9 P=10 P=12 P=14 P=15 P=16 P=18 P=20 P=21 P=24 P=27 P=28 P=30 P=32 P=35 P=36 P=40 P=42 P=45 P=48 P=50 P=54 P=55 P=56 P=60 P=63 P=66 P=70 P=72 P=77 P=80 P=84 P=88 P=90 P=96 P=99 D=1 A=2 B=1                                                                                     D=5         A=3 B=2                                                                             D=7                   A=4 B=3                                                                   D=8   A=3 B=1                                                                                   D=9                             A=5 B=4                                                         D=11                                       A=6 B=5                                               D=12             A=4 B=2                                                                         D=13                                                 A=7 B=6                                     D=15     A=4 B=1                                                       A=8 B=7                         D=16                       A=5 B=3                                                               D=17                                                                       A=9 B=8               D=19                                                                                 A=10 B=9     D=20                                 A=6 B=4                                                     D=21                 A=5 B=2                                                                     D=24       A=5 B=1                                   A=7 B=5                                           D=27                           A=6 B=3                                                           D=28                                                     A=8 B=6                                 D=32                   A=6 B=2                                             A=9 B=7                     D=33                                     A=7 B=4                                                 D=35         A=6 B=1                                                                             D=36                                                                           A=10 B=8           D=39                                               A=8 B=5                                       D=40                               A=7 B=3                                                     A=11 B=9 D=45                     A=7 B=2                                   A=9 B=6                             D=48           A=7 B=1                             A=8 B=4                                             D=51                                                                     A=10 B=7                 D=55                                 A=8 B=3                                                     D=56                                                   A=9 B=5                                   D=57                                                                               A=11 B=8       D=60                         A=8 B=2                                                             D=63             A=8 B=1                                                                         D=64                                                               A=10 B=6                       D=65                                             A=9 B=4                                         D=72                                   A=9 B=3                                     A=11 B=7             D=75                                                       A=10 B=5                               D=77                           A=9 B=2                                                           D=80               A=9 B=1                                                                   A=12 B=8   D=84                                               A=10 B=4                                       D=85                                                                   A=11 B=6                   D=91                                       A=10 B=3                                               D=95                                                                             A=12 B=7         D=96                             A=10 B=2                             A=11 B=5                           D=99                 A=10 B=1