Gelijke bogen

Uitwerking

• Gegeven is:
  • cirkel met middelpunt M en middellijn AB
  • punten C en E op die cirkel
  • lijn CE
  • lijn loodrecht op lijn CE door punt A
  • punt P is het snijpunt van de cirkel met de lijn door punt A loodrecht op lijn CE
  • punt D is het snijpunt van de lijnen AP en CE
• Te bewijzen:
  • ∠CMP = ∠BME
• Aanpak:
  • gelijke bogen kun je bewijzen door gelijke middelpuntshoeken aan te tonen.
  • gelijke middelpuntshoeken kun je bewijzen door gelijke omtrekshoeken aan te tonen.
  • gelijke omtrekshoeken kun je bewijzen door gelijkvormige driehoeken aan te tonen.
  • gelijkvormige driehoeken vind je door gelijke hoeken te benoemen.
  • met Thales en de middellijn vind je rechte hoeken op de cirkelrand.
  • met de stelling van de constante hoek toon je even grote hoeken aan op de cirkelrand.

1. Bij koorde AC horen constante hoeken: ∠AEC = ∠ABC.
2. In ∆ABC is ∠ACB = 90° (Thales)
   dus ∠BAC = 90° − ∠ABC.
3. In ∆AED is ∠ADE = 90° (gegeven)
   dus ∠DAE = 90° − ∠AEC.
4. Omdat ∠AEC = ∠ABC (stap 1)
   en omdat ∠BAC = 90° − ∠ABC (stap 2)
   en omdat ∠DAE = 90° − ∠AEC (stap 3)
   daarom ∠DAE = ∠BAC.
5. Omdat ∠DAE = ∠BAP + ∠BAE (zie tekening)
   en omdat ∠BAC = ∠BAP + ∠CAP (zie tekening)
   en omdat ∠DAE = ∠BAC (stap 4)
   daarom ∠BAE = ∠CAP.
6. Omdat ∠BAE = ∠CAP (stap 5)
   daarom ∠BME = ∠CMP (omtrekshoek en middelpuntshoek)
   dus boog CP = boog BE.
7. Conclusie: omdat ∠CMP = ∠BME daarom boog CP = boog BE.

☐

Uitwerking

• Gegeven is:
  • cirkel met middelpunt M en middellijn AB
  • punten C en E op die cirkel
  • lijn CE
  • lijn loodrecht op lijn CE door punt A
  • punt P is het snijpunt van de cirkel met de lijn door punt A loodrecht op lijn CE
  • punt D is het snijpunt van de lijnen AP en CE
• Te bewijzen:
  • ∠CMP = ∠BME
• Aanpak:
  • dankzij rechte hoeken zijn er evenwijdige lijnen
  • dankzij evenwijdige lijnen zijn er Z-hoeken

1. Omdat AB een middellijn is, daarom is hoek APB recht.
2. Omdat ook hoek ADE recht is, zijn lijnen CDE en PB evenwijdig.
3. Vanwege de evenwijdigheid zijn hoek PBC en hoek BCE Z-hoeken en dus even groot.
4. Omdat omtrekshoeken PBC en BCE even groot zijn, zijn ook de middelpuntshoeken PMB en hoek BME even groot
   dus boog CP = boog BE.
5. Conclusie: omdat ∠CMP = ∠BME daarom boog CP = boog BE.

☐