Tegenspraak

Uitwerking

• Gegeven is:
  • driehoek ABC met de omgeschreven cirkel
  • punt E op die cirkel
  • punt Q op lijn AE, buiten de cirkel (dus ongelijk aan punt E)
  • ∠ACB = ∠AQB
• Te bewijzen:
  • Punt Q kan niet binnen, maar ook niet buiten de cirkel liggen.

1. Bij koorde AB horen constante hoeken: ∠ACB = ∠AEB.
2. Omdat punt Q op lijn AE ligt,
   en omdat ∠ACB = ∠AEB en omdat ∠ACB = ∠AQB
   daarom ∠AEB = ∠AQB
   dus zijn het F-hoeken
   dus is lijn EB evenwijdig aan lijn QB.
3. Driehoek ABE is gelijkvormig aan driehoek ABQ want hoek A hebben ze gemeenschappelijk en ∠AEB = ∠AQB.
4. Omdat deze gelijkvormige driehoeken zijde AB gemeenschappelijk hebben,
   daarom zijn ze congruent
   en dus valt punt E samen met punt Q.
5. Omdat punt Q NIET samenvalt met punt E(gegeven)
   en hierboven aangetoond is dat beide punten WEL samenvallen (stap 4),
   daarom is er tegenspraak:
   er bestaat geen punt Q met ∠ACB = ∠AQB dat niet op de cirkel ligt.
   Dus liggen alle punten Q met ∠ACB = ∠AQB ALTIJD op de cirkel.
6. Conclusie: Alle punt Q met ∠ACB = ∠AQB liggen niet binnen, liggen niet buiten, maar op de omgeschreven cirkel van ∆ABC.

☐