Koordenvierhoek

Uitwerking

• Gegeven is:
  • veelhoek ABQSP
  • ∠P = ∠Q = 90°
  • punt S is het snijpunt van de lijnen AQ en BP
  • punt T is het midden van lijnstuk AS
  • punt U is het midden van lijnstuk BS
• Te bewijzen:
  • vierhoek TUQP is een koordenvierhoek
• Aanpak:
  • een vierhoek is een koordenvierhoek als de som van de overstaande hoeken 180° is, bijvoorbeeld omdat er sprake is van gelijke hoeken, of omdat er sprake is van gelijkvormigheid of congruentie.
  • in ∆ASP kan de stelling van Thales gebruikt worden zodat punt T het middelpunt is van een cirkel, evenzo in ∆SBQ punt U.

1. Omdat ∠P = 90° (gegeven), daarom ligt punt P volgens de stelling van Thales op de cirkel met middellijn AS.
2. Omdat punt T het midden is van middellijn AS (gegeven),
   daarom is punt T het middelpunt van de cirkel
   en dus |PT| = |ST|.
3. Omdat |PT| = |ST| (stap 2) daarom is ∆TPS gelijkbenig en dus ∠P₁ = ∠S₁.
4. Idem rondom punt U: daarom is ∆USQ gelijkbenig en dus ∠Q₃ = ∠S₃.
5. In punt S zijn overstaande hoeken gelijk,
   daarom ∠S₁ = ∠S₃ = α en ∠S₂ = ∠S₄ = γ
   dus ∠P₁ = ∠S₁ = ∠Q₃ = ∠S₃ = α en ∠T₁ = ∠U₃ = β (stap 3 en 4).
6. Omdat de basishoeken gelijk zijn (stap 5), daarom is ∆USQ een vergroting van ∆TPS met factor f.
7. Omdat f × |ST| = |SU| en f × |PS| = |SQ| (stap 6) en ∠S₂ = ∠S₄ (stap 5).
   daarom

   |ST|	=	|SU|
   |PS|		|SQ|

   
   dus is ∆TSU een vergroting van ∆PSQ
   en dus ∠T₄ = ∠P₂ = δ en ∠U₄ = ∠Q₂ = ε.
8. Omdat ∠T + ∠U + ∠Q + ∠P = 360° (hoeken vierhoek)
   daarom (β + δ) + (ε + β) + (α + ε) + (δ + α) = 360°
   dus α + β + δ + ε = 180°.
9. Omdat ∠T + ∠Q = (β + δ) + (α + ε) en α + β + δ + ε = 180° (stap 8)
   daarom is de som van een paar overstaande hoeken 180°
   en dus is vierhoek TUQP een koordenvierhoek (omgekeerde koordenvierhoekstelling).
10. Conclusie: vierhoek TUQP is een koordenvierhoek.

☐