Meetkundige Plaats

Uitwerking

Gegeven is een cirkel met middelpunt M en koorde AB. Punt C doorloopt de cirkel. De hoogtelijn uit punt A snijdt de overstaande zijde BC in punt D.
Te bewijzen is dat de meetkundige plaats van punt D een cirkel is.

• Aanpak:
  • Verschillende driehoeken zijn mogelijk: met een scherpe hoek in punt C, met een rechte hoek of met een stompe hoek.
  • Het voetpunt van de hoogtelijn kan dus zowel tussen de punten C en D liggen als links of rechts daarvan.
• Gegeven is:
  • cirkel met middelpunt M
  • koorde AB
  • punt C doorloopt de cirkel
  • punt X is het midden van zijde AB.
  • hoogtelijn uit punt A
  • punt D is het snijpunt van de hoogtelijn uit punt A en de overstaande zijde BC
  • punt E is het snijpunt van de hoogtelijn uit punt A en het verlengde van de overstaande zijde BC links
  • punt F is het snijpunt van de hoogtelijn uit punt A en het verlengde van de overstaande zijde BC rechts
• Te bewijzen:
  • laat punt C de cirkel doorlopen
    de meetkundige plaats van punt D, E en F is een cirkel
• Geogebra:
  • Geogebra laat een cirkel zien. De hoogtelijn uit punt A kan zowel binnen als buiten de driehoek vallen. In Geogebra is dat met kleurtjes aangegeven. Dat betekent dat je in het bewijs drie gevallen moet onderscheiden om aan te tonen dat de cirkel de meetkundige plaats is van alle punten D die het snijpunt zijn van de hoogtelijn uit punt A en (het verlengde van) de overstaande zijde BC. Dit onderzoek maakt duidelijk dat je aan gevalsonderscheiding moet doen.

1. Omdat ∠ADB = 90° in driehoek ABC (hoogtelijn loodrecht op basis),
   daarom ligt punt D op de cirkel met middellijn AB en is punt X het middelpunt van die cirkel (stelling van Thales).
2. Idem voor punt E en punt F.
3. Omdat alle drie de cirkels dezelfde middellijn hebben (stap 1 en 2)
   daarom liggen de punten D, E en F op een en dezelfde cirkel.
4. Conclusie is dat de meetkundige plaats van het snijpunt van de hoogtelijn uit punt A met (het verlengde van) de overstaande zijde BC een cirkel is.

☐