Schets bij opdracht 26
|
Uitwerking
Gegeven is een cirkel met middelpunt M.
Laat punt C de cirkel doorlopen.
Punt D is het midden van zijde BC.
Bewijs dat de meetkundige plaats van punt D een cirkel is.
- Gegeven is:
- cirkel met middelpunt M
- koorde AB
- punt C op de cirkel
- punt D het midden van zijde BC
- punt E het midden van zijde AC
- punt F het midden van zijde AB
- Te bewijzen:
- Laat punt C de cirkel doorlopen.
De meetkundige plaats van punt D is een cirkel.
- Geogebra:
- Geogebra suggereert dat de meetkundige plaats van punt D een cirkel is met middellijn BF.
Ook suggereert Geogebra dat de meetkundige plaats van punt E een cirkel is met middellijn AF.
- Als punt C samenvalt met punt B, dan valt ook punt D samen met punt B
dus maakt punt B deel uit van de meetkundige plaats.
- Idem als punt C samenvalt met punt A, dan valt punt D samen met punt F
omdat beide punten de middens van hun zijde zijn,
dus maakt punt F deel uit van de meetkundige plaats.
- Omdat DF een middenparallel is van ∆ABC, daarom is DF evenwijdig aan AC
en dus is ∠BCA = ∠BDF.
alternatief: omdat ∆ABC een vergroting is van ∆FBD, daarom is ∠BCA = ∠BDF.
- Omdat punt C op de cirkel ligt met koorde AB,
daarom is ∠BCA constant (constante hoek)
en omdat ∠BCA = ∠BDF
daarom is ook ∠BDF constant op koorde AB.
- Omdat ∠BDF constant is op koorde AB,
daarom is de meetkundige plaats van punt D een cirkel met middellijn BF (omgekeerde constante hoek).
- Conclusie is dat de meetkundige plaats van punt D een cirkel is.
☐
- Verrassend is dat ook punt M deel uitmaakt van de meetkundige plaats.
In het bijzondere geval dat punt C op de middellijn BM ligt, valt punt D, het midden van zijde BC, samen met punt M het midden van de middellijn. Daarom maakt ook punt M deel van de meetkundige plaats.
- Omdat |BD| maximaal is als punt C op de middellijn van BM ligt, daarom is BM de middellijn van de cirkel die de meetkundige plaats van punt D is.
Zodoende is ook het middelpunt van die cirkel bepaald: het middelpunt is het midden van lijnstuk BM.
| |
geogebra