www.fransvanschooten.nl

5 vwo wiskunde B

Constante Hoek

Hoofdstuk 6

Schets bij opdracht 27

geogebra

geogebra 27b

geogebra 27d

Uitwerking

Gegeven is een cirkel met middelpunt M en koordenvierhoek ABCD.
Lijnstuk AB is een middellijn en koorde CD heeft een vaste lengte.
Punt T is het snijpunt van het verlengde van de zijden AD en BC.
Punt S is het snijpunt van het de diagonalen AC en BD.

  1. Bewijs dat ∠ASD = ∠ATB.
  2. Laat punt C de cirkel doorlopen.
    Bewijs dat de punten S en T op cirkelbogen liggen.
  3. Bepaal de eindpunten van cirkelboog van punt T.
  4. Laat punt C de cirkel doorlopen.
    Bewijs dat de punten S en T op cirkelbogen liggen, ook als koorde AB niet een middellijn is.
  • Te bewijzen:
    • ∠ASD = ∠ATB (oftewel ∠T1 = ∠S2).
  1. Omdat punt C op de cirkel met middellijn AB ligt, daarom is in ∆ABC ∠C recht (stelling van Thales)
    en dus ∠C4 = ∠C1,3 = 90° (overstaande hoek).
  2. Idem voor punt D: ∠D2 = ∠D13 = 90°.
  3. Omdat in ∆ADS is ∠D2 = 90° (stap 2),
    daarom ∠S2 = 90° − ∠A2 (hoekensom)
    en omdat in ∆ACT is ∠C1,3 = 90° (stap 1)
    daarom ∠T1 = 90° − ∠A2 (hoekensom)
    dus ∠T1 = ∠S2.
  4. Conclusie is dat ∠ASD = ∠ATB.

☐

  • Te bewijzen:
    • de punten S en T liggen op cirkelbogen als punt C op de gegeven cirkel ligt.
  • Aanpak:
    • Zoek de constante hoek!
    • ∠T is constant als ∠S2 constant is, dus als ∠A2 constant is, of als ∠A1 + ∠B1 constant is.
  1. Omdat |CD| constant is, daarom is ∠A2 constant op de cirkel om punt M (gelijke koorden, gelijke bogen), dus is ∠S2 constant en dus is ook ∠T1 constant.
  2. Omdat ∠S2 constant is op koorde AB, daarom ligt punt S op een cirkel door de punten A en B (omgekeerde stelling van de constante hoek).
  3. Idem voor punt T.
  4. Conclusie is dat de meetkundige plaats van de punten S en T cirkelbogen zijn als punt C de cirkel met middellijn AB doorloopt.

☐

top
 

Schets bij opdracht 27

geogebra

geogebra 27d

Uitwerking 27d

  • Te bewijzen:
    • De punten S en T liggen op cirkelbogen als punt C de gegeven cirkel doorloopt, ook als koorde AB niet een middellijn is.
  • Aanpak:
    • Zoek de constante hoeken!
  1. Ook als koorde AB niet de middellijn is, blijft ∠A2 constant op koorde CD.
  2. Idem blijft ∠D2 constant op koorde AB.
  3. Omdat in ∆ADB zowel ∠A2 constant is (stap 1) als ∠D2 constant is (stap 2), daarom is ook ∠S2 constant (hoekensom ∆).
  4. Idem is ∠B4 constant en is ∠C4 constant en is ook ∠S4 constant.
  5. Omdat ∠S2 constant is, (stap 3)
    daarom is ook overstaande ∠S1 constant,
    dus is op koorde AB de meetkundige plaats van punt S een cirkel.
  6. Omdat in ∆ABS ∠S1 constant is, (stap 5)
    daarom is ook ∠A1 + ∠B1 constant (hoekensom ∆).
  7. Omdat ∠A2 constant is (stap 1) en ∠B4 constant is en ∠A1 + ∠B1 constant is op koorde AB (stap 6),
    daarom is ook ∠A12 + ∠B14 constant,
    dus is ook ∠T constant (hoekensom ∆).
  8. Omdat ∠T constant is op koorde AB,
    daarom is op koorde AB de meetkundige plaats van punt T een cirkel.
  9. Conclusie is dat de punten S en T op cirkelbogen liggen als punt C de gegeven cirkel doorloopt, ook als koorde AB niet een middellijn is.

☐

top