Constante hoek

Uitwerking

Gegeven driehoek ABC met de omgeschreven cirkel met middelpunt M.
Bewijs dat punt S, het snijpunt van de deellijn van ∠C met de middelloodlijn AB, ligt op de omgeschreven cirkel.

• Gegeven is:
  • driehoek ABC met de omgeschreven cirkel en middelpunt M.
  • punt S is het snijpunt van middelloodlijn AB met de deellijn van hoek C.
• Te bewijzen:
  • Punt S ligt op de omgeschreven cirkel.

1. Gegeven zijn driehoek ABC met de omgeschreven cirkel en de deellijn van hoek C,
   Construeerbaar is een andere driehoek met punt C₂ op de omgeschreven cirkel, waarbij in driehoek ABC₂ geldt dat α = ∠BAC₂ = ½∠C₂.
   Punt P is het midden van koorde AB en is dus het snijpunt van koorde AB en de middelloodlijn van AB.
   Punt Q is het snijpunt van koorde AB en de deellijn uit hoek C₂.
   Punt S is het snijpunt van de middelloodlijn op AB en de deellijn uit hoek C₂.
2. Omdat de punten C en C₂ beide op de omgeschreven cirkel liggen,
   daarom is ∠BAC₂ = ½∠C₂ = ½∠C = α.
3. Omdat punt S op de middelloodlijn ligt van koorde AB,
   daarom |AS| = |BS|, daardoor is driehoek ABS gelijkbenig en
   dus ∠BAS = ∠ABS = α.
4. Omdat ∠SBQ = ∠BAC₂ = α
   daarom maakt koorde AB Z-hoeken en dus is BS evenwijdig aan AC₂
   dus is gelijkbenige driehoek BQS gelijkvormig aan AQC₂
   en dus ∠BSQ = ∠SBQ = α.
5. Omdat in driehoek ABS geldt dat ∠A = ∠B = α,
   daarom is de buitenhoek in punt S gelijk aan 2α,
   en dus ∠ASB = 180−2α.
6. Omdat in vierhoek BSAC₂ geldt dat ∠S = 180−2α en C₂ = 2α,
   daarom is de som van de overstaande hoeken gelijk aan ∠S + C₂ = (180° − 2α) + (2α) = 180°
   en dus is het een koordenvierhoek en dus liggen alle vier de punten op een cirkel: de omgeschreven cirkel van driehoek ABC.
7. Conclusie is dat vierhoek BSAC₂ een koordenvierhoek is met punt S op de omgeschreven cirkel.
   Hiermee is nog niet bewezen dat de deellijn van hoek C door punt S gaat. Het bewijs gaat verder.