Constante hoek

Uitwerking

Gegeven driehoek ABC met de omgeschreven cirkel met middelpunt M,
de bissectrices van hoek B en hoek C die elkaar snijden in punt I,
Punt F is het snijpunt van de omgeschreven cirkel en de bissectrice van hoek C.
Bewijs dat |FI| = |FB|.

• Gegeven is:
  • driehoek ABC met de omgeschreven cirkel en middelpunt M.
  • punt I is het snijpunt van de bissectrices van ∠B en ∠C.
  • punt F is het snijpunt van de omgeschreven cirkel en de bissectrice van hoek C.
• Te bewijzen:
  • |FI| = |FB|
• Aanpak:
  • Als |FI| = |FB|, dan is ∆FBI gelijkbenig met ∠I₂ = ∠B_1,2.
  • Aanpak is om gelijke hoeken te vinden, bijvoorbeeld gelijke constante hoeken.
  • Uit opdracht 29 heb je geleerd dat punt F op de middelloodlijn van koorde AB ligt zodat |AF| = |BF| en ∠A₄ = ∠B₁. Dus dat deel van het bewijs neem je mooi mee.

1. Punt F is het snijpunt van de de middelloodlijn van koorde AB, de omgeschreven cirkel van ∆ABC en de deellijn van ∠C.
   Volgens opdracht 29 snijdt lijn MF koorde AB middendoor.
2. Omdat punt F op de middelloodlijn van koorde AB ligt (stap 1),
   daarom d(A,F) = d(B,F) en
   dus |AF| = |BF|
3. Omdat in ∆ABF de benen even lang zijn (stap 2)
   daarom is ∆ABF gelijkbenig
   en dus ∠A₄ = ∠B₁.
4. Op de cirkel met koorde AF is ∠C₄ = ∠B₁ (constante hoek).
5. Op de cirkel met koorde BF is ∠C₃ = ∠A₄ (constante hoek).
6. Omdat ∠C₃ = ∠C₄ (deellijn),
   en omdat ∠C₄ = ∠B₁ (stap 4)
   en omdat ∠C₃ = ∠A₄ (stap 5)
   daarom ∠C₄ = ∠B₁ = ∠C₃ = ∠A₄.
7. In ∆IBC is ∠I₂ = ∠B₃ + ∠C₃ (buitenhoek).
8. Omdat ∠B₂ = ∠B₃ (deellijn),
   en omdat ∠C₃ = ∠B₁ (stap 6)
   en omdat ∠I₂ = ∠B₃ + ∠C₃ (stap 7)
   daarom ∠I₂ = ∠B₁ + ∠B₂.
9. Omdat ∠I₂ = ∠B_1,2
   daarom is ∆FBI gelijkbenig
   dus |FI| = |FB|.
10. Conclusie is dat |FI| = |FB|.

☐