Constante hoek

Uitwerking 32c

Gegeven cirkel om middelpunt M en koordenvierhoek ABCD. Punt P is het snijpunt van de diagonalen AC en BD.
Bewijs dat ∠APB = ½ (∠AMB + ∠CMD).

• Gegeven is:
  • cirkel om middelpunt M met koordenvierhoek ABCD
  • punt P is het snijpunt van de diagonalen AC en BD
• Te bewijzen:
  • Bewijs dat ∠APB = ½ (∠AMB + ∠CMD)

1. Op koorde AB: ∠AMB = 2 × ∠C₃ = 2 × ∠D₂.
2. Op koorde CD: ∠CMD = 2 × ∠A₂ = 2 × ∠B₃.
3. Omdat in ∆BPC is ∠P₃ = 180° − ∠B₃ − ∠C₃
   daarom ∠P₃ = 180° − ½ ∠AMB − ½ ∠CMD.
4. Omdat ∠P₁ = 180° − ∠P₃
   daarom ∠P₁ = ½ ∠AMB + ½ ∠CMD.
5. Conclusie is dat ∠APB = ½ (∠AMB + ∠CMD).

☐

Uitwerking 32f

Gegeven cirkel om middelpunt M en koordenvierhoek ABCD. Punt P is het snijpunt van de lijnen AD en BC.
Bewijs dat ∠APB = ½ (∠CMD − ∠AMB).

• Gegeven is:
  • cirkel om middelpunt M met koordenvierhoek ABCD
  • punt P is het snijpunt van de lijnen AD en BC
• Te bewijzen:
  • Bewijs dat ∠APB = ½ (∠CMD − ∠AMB)

1. Op koorde AB: ∠AMB = 2 × ∠C₁ = 2 × ∠D₃,
   dus ∠C₁ = ∠D₃.
2. Op koorde CD: ∠CMD = 2 × ∠B₁ = 2 × ∠A₃,
   dus ∠B₁ = ∠A₃.
3. In ∠BCQ is ∠Q₂ = ∠B₁ + ∠C₁ (buitenhoek)
4. Omdat ∠Q₂ + ∠C₂ + ∠D₂ = 180° (hoekensom ∆CDQ)
   daarom ∠B₁ + ∠C₁ + ∠C₂ + ∠D₂ = 180° (hoekensom ∆BCD),
   dus ∠B₁ + ∠C₁ + ∠C₂ + ∠D₂ = 180°.
5. In ∠CDP is ∠C_1,2 + ∠D_2,3 + ∠P = 180° (hoekensom ∆),
   daarom ∠C₁ + ∠C₂ + ∠D₂ + ∠D₃ + ∠P = ∠B₁ + ∠C₁ + ∠C₂ + ∠D₂,
   dus ∠D₃ + ∠P = ∠B₁,
   dus ∠P = ∠B₁ − ∠D₃,
   dus ∠P = ½ ∠CMD − ½ ∠AMB (stap 1 en 2).
6. Conclusie is dat ∠APB = ½ (∠CMD − ∠AMB)

☐

Simpeler kan natuurlijk ook.

1. Omdat ∠B₁ = ∠P + ∠D₃ (stelling van de buitenhoek)
   daarom ∠P = ∠B₁ − ∠D₃
2. Omdat omtrekshoek B₁ de helft is van middelpuntshoek CMD
   en omdat omtrekshoek D₃ de helft is van middelpuntshoek AMB
   daarom is ∠APB = ½ (∠CMD − ∠AMB).

☐