Evenwijdigheid

Uitwerking

Gegeven is een driehoek ABC met de omgeschreven cirkel met middelpunt M en middellijn AMR. Punt H is het snijpunt van de hoogtelijn uit punt B en de hoogtelijn uit punt C.
Bewijs dat vierhoek CHBR een parallellogram is.

• Gegeven is:
  • driehoek ABC met de omgeschreven cirkel met middelpunt M
  • middellijn AMR
  • hoogtelijn BP
  • hoogtelijn CQ
  • punt H is snijpunt van de hoogtelijn uit punt B en de hoogtelijn uit punt C
• Te bewijzen:
  • vierhoek CHBR is een parallellogram.
• Aanpak:
  • gebruik de definities van een parallellogram.
    ► een vierhoek waarvan de tegenoverliggende zijden even lang zijn.
    ►een vierhoek waarvan de tegenoverliggende zijden evenwijdig zijn.
    ►een vierhoek waarvan de overstaande hoeken even groot zijn.
    ►een vierhoek waarvan de diagonalen elkaar middendoor delen.

1. Omdat punt B en punt C op de cirkel liggen met middellijn AR (gegeven),
   daarom is ∠B = ∠C = 90° )Thales'.
2. Omdat hoogtelijn CQ loodrecht staat op zijde AB (gegeven)
   en omdat ∠B = 90° (stap 1)
   daarom is zijde CH evenwijdig aan zijde BR.
3. Omdat hoogtelijn BP loodrecht staat op zijde AC (gegeven)
   en omdat ∠C = 90° (stap 1)
   daarom is zijde BH evenwijdig aan zijde CR.
4. Omdat van vierhoek CHBR overstaande zijden evenwijdig zijn, (stap 2 en 3)
   daarom is vierhoek CHBR een parallellogram.
5. Conclusie is dat vierhoek CHBR een parallellogram is.

☐