Brahmagupta

Uitwerking

Gegeven is vierhoek ABCD met de omgeschreven cirkel waarbij de diagonalen AC en BD loodrecht op elkaar staan en elkaar snijden in punt S.
Bewijs dat de lijn door punt S en het midden van zijde CD loodrecht staat op zijde AB.

het boek schrijft dat deze stelling is van de Indische wiskundige Brahmagupta.
Lees verder op wikipedia over Brahmagupta.

• Gegeven is:
  • vierhoek ABCD met de omgeschreven cirkel
  • punt K is het midden van zijde CD
  • punt P in het verlengde van lijn SK met |SK| = |KP|
  • de diagonalen AC en BD staan loodrecht op elkaar en snijden in punt S
• Te bewijzen:
  • de lijn door punt S en het midden van zijde CD staat loodrecht op zijde AB
• Aanpak:
  • zoek gelijke hoeken en bewijs met gelijkvormigheid dat de hoeken in punt L recht zijn.
  • benut rechthoek SCPD.

1. Omdat |CK| = |DK| (gegeven) en |SK| = |KP| (constructie) en omdat ∠S recht is (gegeven),
   daarom snijden de diagonalen CD en SP van vierhoek SCPD elkaar middendoor
   en vanwege de rechte hoek is vierhoek SCPD per definitie een rechthoek. (zie definities rechthoek)
2. Omdat de diagonalen van een rechthoek even lang zijn (eigenschap),
   daarom |CK| = |DK| = |SK| = |KP|.
3. Omdat |DK| = |SK| daarom is ∆DKS gelijkbenig
   en dus ∠D₂ = ∠S₂.
4. Overstaande hoeken zijn even groot, daarom ∠D₂ = ∠S₂ = ∠S₄.
5. Op koorde BC is ∠D₂ = ∠A₂ (constante hoek),
   dus ∠D₂ = ∠S₂ = ∠S₄ = ∠A₂.
6. Evenzo in ∆CKS en op koorde AD is ∠C₂ = ∠S₁ = ∠S₃ = ∠B₁.
7. Omdat ∠S recht is in ∆CDS, daarom is ∠C₁ + ∠D₂ = 90° (hoekensom),
   dus ∠A₂ + ∠S₃ = 90°
   en ook ∠B₁ + ∠S₄ = 90° (stap 5 en 6).
8. Omdat in ∆ALS geldt ∠A₂ + ∠S₃ = 90°,
   daarom ∠L₅ = 90° (hoeksom).
9. Conclusie is dat de lijn door punt S en het midden van zijde CD loodrecht staat op zijde AB.

☐