Schets bij opdracht 8
|
Uitwerking
Gegeven driehoek ABC met een rechte hoek in punt C.
Bewijs dat zijde AB de middellijn is van de omgeschreven cirkel van deze driehoek.
- Gegeven is:
- driehoek ABC
- omgeschreven cirkel
- rechte hoek in punt C
- punt M is het midden van zijde AB.
- Te bewijzen:
- zijde AB is de middellijn van de omgeschreven cirkel van deze driehoek.
- Spiegelen van punt C in punt M geeft punt C'.
Dus is ook hoek C'een rechte hoek.
- Omdat zowel hoek C als hoek C' recht is, is vierhoek ACBC' een koordenvierhoek.
- Omdat de vierhoek twee paar even lange zijden heeft en rechte hoeken, daarom is vierhoek ACBC' een rechthoek.
- Omdat de diagonalen van een rechthoek elkaar middendoor snijden, zijn AM, BM, CM en C'M stralen van de cirkel.
- Conclusie is dat zijde AB de middellijn is van de omgeschreven cirkel.
☐
| |
Schets bij opdracht 8
|
Uitwerking Alternatief onderbouw
Uiteraard is er ook een bewijs dat geen gebruik maakt van koordenvierhoeken.
Gegeven driehoek ABC met een rechte hoek in punt C.
Bewijs dat zijde AB de middellijn is van de omgeschreven cirkel van deze driehoek.
- Gegeven is:
- driehoek ABC
- omgeschreven cirkel
- rechte hoek in punt C
- punt M is het midden van zijde AB.
- Te bewijzen:
- zijde AB is de middellijn van de omgeschreven cirkel van deze driehoek.
- Teken de middelloodlijn van de punten A en C.
- Omdat hoek C recht is, is zijde BC evenwijdig aan de middelloodlijn,
dus is de middelloodlijn tevens middenparallel.
- De middenparallel snijdt zijde AB middendoor, dus in punt M.
- Omdat punt M op de middelloodlijn ligt, geldt MA = MC.
- Teken evenzo de middelloodlijn van de punten B en C, zodat punt M ook op deze middelloodlijn ligt, waardoor geldt MB = MC.
- Omdat MA = MB = MC is punt M het midden van de omgeschreven cirkel.
- Conclusie is dat zijde AB de middellijn is van de omgeschreven cirkel.
☐
|
Schets bij opdracht 8
|
Uitwerking Alternatief Bewijs uit ongerijmde
Uiteraard is er nog een derde bewijs: een bewijs uit het ongerijmde.
Doe een aanname, toon aan dat die aanname leidt tot tegenspraak en je weet dat de aanname niet juist is.
Bij het volgende bewijs neem je eerst aan dat punt C binnen de cirkel ligt, en je toont aan dat dat niet waar is.
Vervolgens neem je aan dat punt C buiten de cirkel ligt, en je toont ook aan dat dat niet waar is.
Over blijft de mogelijkheid dat punt C op de cirkel ligt.
Omdat punt C toch ergens moet liggen, moet die mogelijkheid wel waar zijn.
Daarmee is via een omweg het gevraagde bewezen.
Gegeven driehoek ABC met een rechte hoek in punt C.
Bewijs dat zijde AB de middellijn is van de omgeschreven cirkel van deze driehoek.
- Gegeven is:
- driehoek ABC
- omgeschreven cirkel
- rechte hoek in punt C
- punt M is het midden van zijde AB.
- Te bewijzen:
- zijde AB is de middellijn van de omgeschreven cirkel van deze driehoek.
- Veronderstel dat punt C ligt binnen de cirkel met middellijn AMB.
- In het verlengde van BC ligt dan een punt C' op de cirkel.
- Volgens de stelling van Thales is hoek C' recht.
- In driehoek ABC' is de hoekensom 180°.
- Driehoek ABC heeft hoek B gemeenschappelijk, heeft ook een rechte hoek in punt C, maar hoek BAC is kleiner dan hoek BAC'
en dus is de hoekensom van driehoek ABC minder dan de hoekensom van driehoek ABC'
en dat kan niet waar zijn: tegenspraak!.
- Evenzo, veronderstel dat punt C ligt buiten de cirkel met middellijn AMB.
- Op zijde BC ligt dan een punt C' op de cirkel.
- Volgens de stelling van Thales is hoek C' recht.
- In driehoek ABC' is de hoekensom 180°.
- Driehoek ABC heeft hoek B gemeenschappelijk, heeft ook een rechte hoek in punt C, maar hoek BAC is groter dan hoek BAC'
en dus is de hoekensom van driehoek ABC groter dan de hoekensom van driehoek ABC'
en dat kan niet waar zijn: tegenspraak!.
- Blijft over de derde mogelijkheid: punt C ligt op de cirkel.
- Conclusie is dat zijde AB de middellijn is van de omgeschreven cirkel.
☐
|
geogebra