|
|
Vierkant binnen een vierkant
Hieronder zie je dat met een passer binnen vierkant ABCD een kleiner vierhoek EFGH is geconstrueerd.
Allereerst zijn de middens K, L, M en N geconstrueerd en de halve cirkelbogen om K, L, M en N door A, B, C en D. Daarna is punt P gekozen op de cirkelboog om N waarbij punt P dichter bij punt D ligt dan bij punt A. Vervolgens is lijnstuk AP getrokken en punt E is het snijpunt van lijnstuk AP met de cirkelboog om K. Evenzo is lijnstuk BE met punt F, lijnstuk CF met punt G en lijstuk DG met punt H.
Zo onstaat vierhoek EFGH.
Opdracht is om aan te tonen dat punt H samenvalt met punt P.
Opdracht is ook om aan te tonen dat vierhoek EFGH een vierkant is.
Bewijs
- Omdat vierhoek ABCD een vierkant is, daarom zijn alle zijden even lang en zijn alle hoeken recht.
- Omdat punt P op een cirkelboog ligt met midden N en middellijn AD,
daarom is ∠APD = 90° (Thales),
waardoor ∠DAP + ∠ADP = 90°.
- Omdat punt E op een cirkelboog ligt met midden K en middellijn AB,
daarom is ∠AEB = 90° (Thales),
waardoor ∠BAE + ∠ABE = 90°.
Idem voor de punten F en G.
- Omdat ∠A = ∠DAP + ∠BAE = 90° (want vierhoek ABCD is een vierkant),
daarom ∠DAP = ∠ABE = ∠BCF = ∠CDG
en ook ∠ADP = ∠BAE = ∠CBF = ∠DCG.
- Omdat ∆ADP, ∆BAE, ∆CBF, ∆DCG even grote hoeken hebben en een even lange schuine zijde,
daarom zijn de driehoeken congruent en dus zijn de overeenkomstige zijden even lang:AE = BF = CG = DP.
- Omdat ∠CDH = ∠CDP en omdat punt H en P beide op de cirkelboog om punt N liggen,
daarom valt punt H samen met punt P.
- Omdat de driehoeken ccongruent zijn, daarom zijn de overeenkomstige zijden even lang:BE = CF = DG = AH.
- En dus BE − BF = EF = FG = GH = EH,
waardoor vierhoek EFGH vier even lange zijden heeft.
- Omdat de nevenhoeken recht zijn, ∠AEB = 90°, daarom zijn ook de hoeken van vierhoek EFGH recht.
- Conclusie: vierhoek EFGH is een vierkant.
Achthoek binnen een vierkant
Hieronder zie je dat met een passer een achthoek geconstrueerd is.
Vanuit de hoekpunten zijn cirkelbogen door het midden van het vierkant getrokken.
De punten P, Q, etc. zijn de snijpunten van de bogen met
Opdracht is om met congruentie aan te tonen dat veelhoek PQRSTUVW een regelmatige achthoek is.
|
|
|
Vierkant binnen een vierkant