Stelling van Van Schooten: FM + FN = FL

• Gegeven is:
  • LM = MN = LN.
  • DF = FN.
  • punt F is een punt op de omgeschreven cirkel om ∆LMN.
  • punt O is snijpunt van lijn MN en lijn FL.

1. Bereken ∠F_1,2.
   
   Antwoord: Omdat ∆LMN een gelijkzijdige driehoek is, heeft het drie even grote hoeken, daarom ∠LMN = ⅓×180° = 60° want ³² de hoekensom is 180°.
   Vierhoek LMFN is een koordenvierhoek omdat de vier punten op de cirkel liggen. Volgens de stelling van de koordenvierhoek ^III-22 zijn overstaande hoeken samen 180°. Omdat ∠L_1,2 = 60°, daarom ∠F_1,2 = 180° − 60° = 120°.
2. Bereken ∠F₃.
   
   Antwoord: ∠F₃ is samen met ∠F_1,2 een gestrekte hoek, dat wil zeggen samen 180° ¹³. Dus ∠F₃ + ∠F_1,2 = 180°. Omdat ∠F_1,2 = 120° (stap 1), daarom ∠F₃ = 180° − 120° = 60°.
3. Toon aan dat ∆DFN een gelijkzijdige driehoek is en dat ∠N₃ = 60°.
   
   Antwoord: Omdat ∆DFN twee gelijke zijden heeft, want DF = FN (constructie), daarom is ∆DFN gelijkbenig (maar nog niet gelijkzijdig). Dus ⁵ zijn de basishoeken even groot. De tophoek is ∠F₃ = 60° (stap 2). Samen zijn de drie hoeken 180° ³². De basishoeken zijn dus samen: ∠D + ∠N₃ = 180° − 60° = 120°. Daarom ∠D = ∠N₃ = 60°. Een driehoek met drie hoeken van 60° is per definitie een gelijkzijdige driehoek. Dus is ∆DFN gelijkzijdig.
4. Toon aan dat ∠N_1,2 = ∠N_2,3.
   
   Antwoord: Zowel ∠N_1,2 = ∠N₁ + ∠N₂ = 60° + ∠N₂, als ∠N_2,3 = ∠N₃ + ∠N₂ = 60° + ∠N₂, want ∠N₃ = 60° (stap 3). Daarom ∠N_1,2 = ∠N_2,3.
5. Toon aan dat ∆LNF een vergroting is van ∆MND
   
   Antwoord: Twee paar overeen­komstige hoeken zijn even groot: ∠N_1,2 = ∠N_2,3 (stap 4) en ∠F₂ = ∠M₁ (constante hoek ^III-21). Daarom is ook het derde paar overeen­komstige hoeken even groot: ∠F₂ = ∠D = 60°. De zijde tussen die hoeken is ook even lang: MN = LN (gegeven). Daarom zijn de driehoeken een vergroting van elkaar met factor één. Gevolg ²⁶ is dat FL = DM.
   
   Antwoord 2: Overeenkomstige hoeken zijn even groot, ∠N_1,2 = ∠N_2,3 (stap 4), en de overeen­komstige aanliggende zijden zijn even lang: FN = DN (gegeven) en MN = LN (gegeven). Daarom zijn de driehoeken een vergroting van elkaar met factor één. Gevolg ²⁶ is dat FL = DM.
6. Bewijs dat FM + FN = FL.
   
   Antwoord: Omdat FL = DM (stap 5) en omdat DM = FM + DF, daarom is FL = FM + DF. Omdat FN = DF (gegeven), daarom is FL = FM + FN. Daarmee is het gevraagde bewezen: FM + FN = FL.

Proposities van Euclides Boek I

5. (Euclides I-5)
13. (Euclides I-13)
26. (Euclides I-26)
32. (Euclides I-32)

Proposities van Euclides Boek III

21. (Euclides III-21)
22. (Euclides III-22)