www.fransvanschooten.nl

Het kleinste getal met een zeker aantal delers

Frans van Schooten rekende het kleinste getal uit met een zeker aantal delers.
Het getal 360 is bijvoorbeeld het kleinste getal met 24 delers. Het getal 360 is gelijk aan 23 × 3² × 51. Iedere deler van 360 is een macht van 2 maal een macht van 3 maal een macht van 5. Het aantal mogelijkheden voor de macht van 2 is 4, namelijk 20, 21, 2² en 23. Evenzo, het aantal mogelijkheden voor de macht van 3 is 3, namelijk 30, 31 en 3². Het aantal mogelijkheden voor de macht van 5 is 2, namelijk 50 en 51. Het totaal aantal mogelijke verschillende delers van 360 is daarom 4×3×2 = 24. De kleinste deler is 20 × 30 × 50 = 1 en de grootste deler is 23 × 3² × 51 = 360. Op bladzijde 357 somde Frans van Schooten alle mogelijke ontbindingen op en op bladzijde 360 laat hij zien dat het getal 360 het kleinst mogelijke getal is met 24 verschillende delers.

Het kleinste getal met 30 delers vond Frans van Schooten door 30 te ontbinden in factoren: 30 = 5 × 3 × 2. Het kleinste getal is nu 24 × 3² × 51 = 720. De delers van 720 zijn alle combinaties van een macht van 2, namelijk 20 tot en met 24, een macht van 3, namelijk 30 tot en met 3² en een macht van 5, namelijk 50 tot en met 51. In totaal zijn er 5 × 3 × 2 = 30 verschillende combinaties en dus heeft het getal 720 precies 30 verschillende delers, van 1 tot en met 720.

In onderstaande tabel staan de eerste honderd getallen: links het aantal delers en rechts het kleinste getal met dat aantal delers. In de tweede kolom is het aantal delers ontbonden in factoren. Het kleinste getal kan ook ontbonden worden in factoren. Frans van Schooten introduceerde daarvoor de variabelen a, b, c, etc.. Deze variabellen moeten relatief priem zijn. Het kleinste getal is het getal met de kleinste factoren, dus a = 2, b = 3, c = 5, etc.. De factoren van de ontbinding van het aantal delers zijn de exponenten van de factoren waarvan het kleinste getal het product is. Omdat de exponenten geteld worden vanaf nul, zijn de exponenten in de derde kolom één kleiner dan de factoren in de tweede kolom. Zo is 10 = 5 × 2 en dus is de factorisatie a4 × b1. Voor a = 2 en b = 3 is dus het kleinste getal met 10 delers het getal 24 × 31 = 48.
Frans van Schooten gaf de eerste honderd getallen en heeft zo te zien geen fouten gemaakt. Zonder rekenmachine is dat een hele prestatie.

aantal
delers
ontbinding aantal
delers in factoren
factorisatie
kleinste getal
factoren
kleinste getal
kleinste
getal
22a122
33a²2²4
42 × 2a1 × b12 × 36
55a42416
63 × 2a² × b12² × 312
77a62664
84 × 2a3 × b123 × 324
93 × 3a² × b²2² × 3²36
105 × 2a4 × b124 × 348
1111a102101024
123 × 2 × 2a² × b1 × c12² × 3 × 560
1313a122124096
147 × 2a6 × b126 × 3192
155 × 3a4 × b²24 × 3²144
164 × 2 × 2a3 × b1 × c123 × 3 × 5120
1717a1621665536
183 × 3 × 2a² × b² × c12² × 3² × 5180
1919a18218262144
205 × 2 × 2a4 × b1 × c124 × 3 × 5240
217 × 3a6 × b²26 × 3²576
2211 × 2a10 × b1210 × 33072
2323a222224194304
244 × 3 × 2a3 × b² × c123 × 3² × 5360
255 × 5a4 × b424 × 341296
2613 × 2a12 × b1212 × 312288
273 × 3 × 3a² × b² × c²2² × 3² × 5²900
287 × 2 × 2a6 × b1 × c126 × 3 × 5960
2929a28228268435456
305 × 3 × 2a4 × b² × c124 × 3² × 5720
3131a302301073741824
324 × 2 × 2 × 2a3 × b1 × c1 × d123 × 3 × 5 × 7840
3311 × 3a10 × b²210 × 3²9216
3417 × 2a16 × b1216 × 3196608
357 × 5a6 × b426 × 345184
363 × 3 × 2 × 2a² × b² × c1 × d12² × 3² × 5 × 71260
3737a3623668719476736
3819 × 2a18 × b1218 × 3786432
3913 × 3a12 × b²212 × 3²36864
405 × 2 × 2 × 2a4 × b1 × c1 × d124 × 3 × 5 × 71680
4141a402401099511627776
427 × 3 × 2a6 × b² × c126 × 3² × 52880
4343a422424398046511104
4411 × 2 × 2a10 × b1 × c1210 × 3 × 515360
455 × 3 × 3a4 × b² × c²24 × 3² × 5²3600
4623 × 2a22 × b1222 × 312582912
4747a4624670368744177664
484 × 3 × 2 × 2a3 × b² × c1 × d123 × 3² × 5 × 72520
497 × 7a6 × b626 × 3646656
505 × 5 × 2a4 × b4 × c124 × 34 × 56480
5117 × 3a16 × b²216 × 3²589824
5213 × 2 × 2a12 × b1 × c1212 × 3 × 561440
5353a522524503599627370496
543 × 3 × 3 × 2a² × b² × c² × d12² × 3² × 5² × 76300
5511 × 5a10 × b4210 × 3482944
567 × 2 × 2 × 2a6 × b1 × c1 × d126 × 3 × 5 × 76720
5719 × 3a18 × b²218 × 3²2359296
5829 × 2a28 × b1228 × 3805306368
5959a58258288230376151711744
605 × 3 × 2 × 2a4 × b² × c1 × d124 × 3² × 5 × 75040
6161a602601152921504606846976
6231 × 2a30 × b1230 × 33221225472
637 × 3 × 3a6 × b² × c²26 × 3² × 5²14400
644 × 4 × 2 × 2a3 × b3 × c1 × d123 × 33 × 5 × 77560
6513 × 5a12 × b4212 × 34331776
6611 × 3 × 2a10 × b² × c1210 × 3² × 546080
6767a6626673786976294838206464
6817 × 2 × 2a16 × b1 × c1216 × 3 × 5983040
6923 × 3a22 × b²222 × 3²37748736
707 × 5 × 2a6 × b4 × c126 × 34 × 525920
7171a702701180591620717411303424
726 × 3 × 2 × 2a5 × b² × c1 × d125 × 3² × 5 × 710080
7373a722724722366482869645213696
7437 × 2a36 × b1236 × 3206158430208
755 × 5 × 3a4 × b4 × c²24 × 34 × 5²32400
7619 × 2 × 2a18 × b1 × c1218 × 3 × 53932160
7711 × 7a10 × b6210 × 36746496
7813 × 3 × 2a12 × b² × c1212 × 3² × 5184320
7979a78278302231454903657293676544
805 × 4 × 2 × 2a4 × b3 × c1 × d124 × 33 × 5 × 715120
813 × 3 × 3 × 3a² × b² × c² × d²2² × 3² × 5² × 7²44100
8241 × 2a40 × b1240 × 33298534883328
8383a822824835703278458516698824704
847 × 4 × 3a6 × b3 × c²26 × 33 × 5²43200
8517 × 5a16 × b4216 × 345308416
8643 × 2a42 × b1242 × 313194139533312
8729 × 3a28 × b²228 × 3²2415919104
8811 × 2 × 2 × 2a10 × b1 × c1 × d1210 × 3 × 5 × 7107520
8989a88288309485009821345068724781056
905 × 3 × 3 × 2a4 × b² × c² × d124 × 3² × 5² × 725200
9113 × 7a12 × b6212 × 362985984
9223 × 2 × 2a22 × b1 × c1222 × 3 × 562914560
9331 × 3a30 × b²230 × 3²9663676416
9447 × 2a46 × b1246 × 3211106232532992
9519 × 5a18 × b4218 × 3421233664
964 × 3 × 2 × 2 × 2a3 × b² × c1 × d1 × e123 × 3² × 5 × 7 × 1127720
9797a9629679228162514264337593543950336
987 × 7 × 2a6 × b6 × c126 × 36 × 5233280
9911 × 3 × 3a10 × b² × c²210 × 3² × 5²230400
1005 × 5 × 2 × 2a4 × b4 × c1 × d124 × 34 × 5 × 745360
101101a10021001267650600228229401496703205376