www.fransvanschooten.nl

De transcriptie omvat het tweede deel van bladzijde 126 en de eerste alinea van bladzijde 127. Het eerste deel staat op webpagina 126 I.

II Werckstuck

Deel een lijn in twee gelijke stukken v.

Inleiding

Dit is het tweede werkstuk dat Frans van Schooten Junior zijn lezers voorlegde. Doel is om een lijnstuk in twee gelijke, dat wil zeggen twee even lange, stukken te delen. Van Schooten verwees herhaaldelijk naar het boek "De Elementen" van Euclides. Het lijkt erop dat hij deze opdracht aangrijpt om zoveel mogelijk van Euclides te behandelen. In "De Elementen" van Euclides is dit de vijfde constructie v.

Van Schooten gaf op deze bladzijde twee verschillende constructies. Hieronder staat de tweede. De eerste staat op een eigen webpagina. De derde staat op de bladzijde 127.

Uitvoering.
Anders (126).
Noch anders (127).
gelijk, even groot, even lang

Deze constructie is ongeschikt voor leerlingen omdat het bewijs niet geleverd kan worden met behulp van vergrotingen, evenwijdigheid of F-, Z-, of X-hoeken.

Opdracht Anders

Gegeven zijn twee punten A en B. Gevraagd wordt om lijnstuk AB in twee even lange stukken te delen.
Frans van Schooten construeerde punt G en bewees dat dit het midden van lijnstuk AB was.

top


 

Applets

top


 

Bewijs

Frans van Schooten baseerde zijn bewijs op de eigenschappen van even grote driehoeken, te beginnen met een heel bijzondere. Volgens de vijftiende stelling m uit het zesde boek zijn twee driehoeken even groot als ze een even grote hoek hebben en als de lengtes van de zijden aan die hoek zich omgekeerd evenredig tot elkaar verhouden. Om het begrip omgekeerd evenredig uit te leggen, gebruiken we verschillende notaties.

AC : DC =
  		    1  dat wil zeggen 
  		AC =
  		  1 =
  		BC
EC : BC DC
EC
BC
EC

Of als vermenigvuldiging: AC × EC = BC × DC

Het bewijs dat BC zich verhoudt tot EC als AC tot DC volgt uit de constructie, want:

BC = 1   en   AC = 1
EC 2 DC 2

De driehoeken BDC en AEC hebben in C een gemeenschappelijke hoek. De zijden die aan die hoek grenzen, verhouden zich omgekeerd evenredig. Dus m zijn de driehoeken even groot: ∆BDC = ∆AEC. Zie applet button .

Als van beide even grote driehoeken, ∆BDC en ∆AEC dezelfde vierhoek CAFB afgetrokken wordt n, zijn de resterende driehoeken ook even groot: ∆ADF en ∆BEF. Er zijn nog meer even grote driehoeken: ∆ADF en ∆ACF zijn even groot omdat zij een even grote basis hebben en het punt F gemeenschappelijk o. Evenzo zijn ∆BEF en ∆BCF even groot: ∆BEF = ∆BCF. Zie applet button .

Ook ∆ACF en ∆BCF zijn even groot, wat blijkt uit de opdeling van de even grote ∆BDC en ∆AEC:

∆BDC = ∆ADF + ∆ACF + ∆BCF
= = =
∆AEC = ∆BEF + ∆BCF + ∆ACF


Conclusie is dat ∆BCF = ∆ACF.
Ook ∆FAG en ∆FBG zijn even groot, want de overeen­komstige verhoudingen zijn gelijk p:

∆ACF = CF = ∆BCF
∆AGF GF ∆BGF


Omdat ∆ACF = ∆BCF is ook r ∆AGF = ∆BGF. Zie applet button .

Samengevat hebben we geconcludeerd dat de volgende driehoeken even groot zijn:

  • ∆BDC = ∆AEC
  • ∆ADF = ∆ACF = ∆BEF = ∆BCF
  • ∆AGF = ∆BGF

Nu we weten dat ∆AGF even groot is als ∆BGF met gelijke hoogte in F, maken we gebruik van de stelling dat de grootte van driehoeken met gelijke hoogte zich verhoudt tot hun basis s. Omdat de oppervlaktes even groot zijn en de hoogtes even groot, zijn dus de basis even groot: AG = BG. Conclusie is dat lijnstuk AB in twee gelijke stukken is verdeeld.

top