Meetkunde Bewijzen met Frans van Schooten: Viete Zetetic 2-17

2-17 Zetetic

Gegeven het verschil V en het verschil van de derde machten U van twee onbekende getallen, het grootste getal is A en het kleinste getal is B.

Voorbeeld: gegeven zijn het verschil V = 2 en het verschil van de derde machten U = 98.
De gevraagde getallen zijn A = 5 en B = 3.
Het verschil V is inderdaad 5 − 3 = 2 en het verschil van de derde machten U is inderdaad 5³ − 3³ = 98.

V,U

stelsel vergelijkingen

- Stelsel vergelijkingen
  
  A − B = V
  
  A³ − B³ = U

substitutie

Opdracht

Gegeven het verschil V en het verschil van de derde machten U van twee onbekende getallen, het grootste getal is A en het kleinste getal is B.

Stelsel vergelijkingen

A − B = V

A³ − B³ = U

Uitwerking

Gegeven zijn A − B = V en A³ − B³ = U.
Neem S = A + B,
zodat S² = A² + 2AB + B².
Neem S²V.
Uit S²V = (A + B)² × (A − B),
volgt S²V = A³ + A²B − AB² − B³,
Neem 4U − V³.
Uit 4U − V³ = 4(A³ − B³) − (A −B)³,
volgt 4U − V³ = 4A³ − 4B³ − (A³ −3A²B + 3AB² − B³),
dus 4U − V³ = 3A³ + 3A²B − 3AB² − 3B³,
dus 4U − V³ = 3(A³ + A²B − AB² − B³),
dus 4U − V³ = 3 S²V.
dus S² =

4U − V³

3 V

.
Uit gegeven V = A − B en uit berekend S = A + B
volgt A = ½S + ½V (zie boek 2 zetetic 2)
waardoor B = ½S − ½V.

Voorbeeld

Gegeven zijn het verschil V = 2
en het verschil van de derde machten U = 98.

Uit S² =

4U − V³

3 V

volgt S = 8,
uit A = ½S + ½V volgt A = 5,
uit B = ½S − ½V volgt B = 3.

Het verschil V is inderdaad 5 − 3 = 2
en het verschil van de derde machten U is inderdaad 5³ − 3³ = 98.

voorbeeld Viète

Voorbeeld Viète

Gegeven zijn het verschil V = 6
en het verschil van de derde machten U = 504.

Uit

S² =	4U − V³
3 V

volgt S = 10,
uit A = ½S + ½V volgt A = 8,
uit B = ½S − ½V volgt B = 2.

Het verschil V is inderdaad 8 − 2 = 6
en het verschil van de derde machten U is inderdaad 8³ − 2³ = 504.

eliminatie

- Eliminatie
  
  A − B = V
  
  A³ − B³ = U
  
  substitutie van
  B = A − V
  geeft
  A³ − (A − V)³ = U
  
  dus
  3 V A² − 3 V² A + V³ − U = 0
  etc..
  
  Dit is een kwadratische vergelijking die zich eenvoudig laat oplossen.

voorbeelden

Voorbeelden

Verschil / Verschil Derde Machten	V=2	V=3	V=4	V=5	V=6	V=7	V=8	V=9
U=26	A=3 B=1
U=56	A=4 B=2
U=63		A=4 B=1
U=98	A=5 B=3
U=117		A=5 B=2
U=124			A=5 B=1
U=152	A=6 B=4
U=189		A=6 B=3
U=208			A=6 B=2
U=215				A=6 B=1
U=218	A=7 B=5
U=279		A=7 B=4
U=296	A=8 B=6
U=316			A=7 B=3
U=335				A=7 B=2
U=342					A=7 B=1
U=386	A=9 B=7
U=387		A=8 B=5
U=448			A=8 B=4
U=485				A=8 B=3
U=488	A=10 B=8
U=504					A=8 B=2
U=511						A=8 B=1
U=513		A=9 B=6
U=602	A=11 B=9
U=604			A=9 B=5
U=657		A=10 B=7
U=665				A=9 B=4
U=702					A=9 B=3
U=721						A=9 B=2
U=728	A=12 B=10						A=9 B=1
U=784			A=10 B=6
U=819		A=11 B=8
U=866	A=13 B=11
U=875				A=10 B=5
U=936					A=10 B=4
U=973						A=10 B=3
U=988			A=11 B=7
U=992							A=10 B=2
U=999		A=12 B=9						A=10 B=1