Schets bij opdracht 26
|
Uitwerking Opdracht 26 a
Gegeven is parallellogram ABCD.
Bewijs dat de vier deellijnen een rechthoek insluiten.
- Gegeven is:
- parallellogram ABCD
- de snijpunten van de deellijnen P, Q, R en S
- Te bewijzen:
- vierhoek PQRS is een rechthoek
- Definitie:
- Een vierhoek met vier rechte hoeken is een rechthoek.
- Omdat in een vierhoek de hoekensom 360° is,
daarom ∠A + ∠B = ∠C + ∠D = 360°.
- Omdat in een parallellogram overstaande hoeken even groot zijn,
daarom ∠A = ∠C en ∠B = ∠D.
en dus ∠A + ∠D = 180°.
- Omdat een deellijn een hoek in twee even grote hoeken deelt,
daarom ∠A1 = ∠A2
en ∠D1 = ∠D2
en dus ∠A2 + ∠D1 = 90°.
- Omdat in ∆ADP geldt ∠A2 + ∠D1 + ∠P3 = 180°, (hoekensom driehoek)
en ∠A2 + ∠D1 = 90° (stap 3)
daarom ∠P3 = 90°
en dus zijn de hoeken in punt P recht.
- Evenzo zijn de andere hoeken in de punten Q, Q en S recht.
- Conclusie: vierhoek PQRS is een rechthoek.
☐
|
|
Schets bij opdracht 26
|
Uitwerking Opdracht 26 b
Gegeven is vierhoek ABCD waarvan de vier deellijnen een rechthoek insluiten.
Bewijs dat vierhoek ABCD een parallellogram is.
- Gegeven is:
- vierhoek ABCD
- de punten P, Q, R en S zijn de snijpunten van de deellijnen
- rechte hoeken in de punten P, Q, R en S
- Te bewijzen:
- vierhoek ABCD is een parallellogram
- Definitie:
- Een vierhoek waarvan de tegenoverliggende zijden evenwijdig zijn is een parallellogram.
- De hoekensom van driehoek APD is 180°.
Omdat ∠P = 90°
daarom ∠A2 + ∠D1 = 90°
- Omdat ∠A1 = ∠A2
en ∠D1 = ∠D2
daarom ∠A1,2 + ∠D1,2 = 180°
en dus zijn de zijden AB en CD evenwijdig.
- Evenzo in driehoek BCR
en dus zijn de zijden AD en BC evenwijdig.
- van vierhoek ABCD zijn de overstaande zijden evenwijdig.
- Conclusie: vierhoek ABCD is een parallellogram.
☐
|
