www.fransvanschooten.nl

4 vwo wiskunde B

Bissectrice Stelling

Hoofdstuk 5


Schets bij opdracht 42


Uitwerking Opdracht 42

  • Gegeven is:
    • driehoek ABC
    • punt D is het snijpunt van zijde AB en de deellijn van hoek C
  • Te bewijzen:
    • |AD| : |BD| = |AC| : |BC|

Dit is de bissectrice stelling: de deellijn van een hoek verdeelt de overstaande zijde in twee stukken waarvan de lengtes zich verhouden als de lengtes van de zijden van de aanliggende zijden van die hoek.
Verschillende bewijzen zijn mogelijk. Het boek gebruikt een hulplijn waardoor een gelijkbenig driehoek ontstaat die leidt tot driehoeken die een vergroting zijn van elkaar.
In opdracht 28 wordt je op spoor gezet van het vermoeden dat |AD| : |BD| = |AC| : |BC|.

  • Constructie
    • punt E in verlengde van zijde CD met |AE| = |AC|
  1. Omdat lijn CD de deellijn is van hoek C
    daarom ∠ACD = ∠BCD.
  2. Omdat |AE| = |AC| (gegeven)
    daarom is driehoek CEA gelijkbenig,
    dus ∠AED = ∠ACD = ∠BCD.
  3. Omdat ∠ADE = ∠CDB (overstaande hoek) en omdat ∠AED = ∠DCB (stap 2)
    daarom is driehoek ADE gelijkvormig aan driehoek BDC
    dus zijn overeenkomstige zijden met dezelfde factor f vermenigvuldigd.
    f × |BC| = |AE| = |AC| en f × |BD| = |AD|
  4. Dus:
    f = |AC| = |AD|
    |BC| |BD|
  5. Conclusie: |AD| : |BD| = |AC| : |BC|

top