www.fransvanschooten.nl

5 vwo wiskunde B

Equivalentie Bewijzen Definities Parallellogram

Hoofdstuk 5

Equivalente definities

Het boek geeft vier definities van een parallellogram. Die vier definities zijn equivalent: je kunt namelijk vanuit iedere definitie elke andere definitie bewijzen. Hieronder staan enkele voorbeelden.

1

top

Equivalente definities

Een parallellogram is een vierhoek waarvan de tegenoverliggende zijden even lang zijn.

Een parallellogram is een vierhoek waarvan de diagonalen elkaar middendoor delen.

tegenoverliggende zijden even lang ⇒ diagonalen delen elkaar middendoor

Gegeven is dat een parallellogram een vierhoek is waarvan de tegenoverliggende zijden even lang zijn.
Te bewijzen is dat een parallellogram een vierhoek is waarvan de diagonalen elkaar middendoor delen.

  • Gegeven is:
    • vierhoek ABCD
    • AB = CD
    • AD = BC
  • Te bewijzen:
    • de diagonalen AC en BD snijden elkaar middendoor in punt S.
  1. Omdat |AD| = |BC| en |AB| = |CD| (gegeven) en |AC| = |AC| (overeenkomstige diagonaal) daarom is ∆ACD congruent aan ∆CAB (ZZZ)
    en dus zijn de driehoeken gelijkhoekig, met name: ∠A1 = ∠C1
  2. Omdat |AD| = |BC| (gegeven) en ∠S1 = ∠S2 (overstaande hoeken) en ∠A1 = ∠C1 (stap 1) daarom is ∆CBS congruent aan ∆ADS (ZHH)
    en dus zijn overeenkomstige zijden even lang: |AS| = |CS|
  3. Omdat |AS| = |CS| (stap 2) daarom is diagonaal AC in punt S in twee gelijke stukken gedeeld.
  4. Omdat |BS| = |DS| (stap 2) daarom is diagonaal BD in punt S in twee gelijke stukken gedeeld.
  5. Conclusie: de diagonalen delen elkaar middendoor.

☐

top

Equivalente definities

Een parallellogram is een vierhoek waarvan de tegenoverliggende zijden even lang zijn.

Een parallellogram is een vierhoek waarvan de tegenoverliggende zijden evenwijdig zijn.

tegenoverliggende zijden even lang ⇒ tegenoverliggende zijden evenwijdig

Gegeven is dat een parallellogram een vierhoek is waarvan de tegenoverliggende zijden even lang zijn.
Te bewijzen is dat een parallellogram een vierhoek is waarvan de tegenoverliggende zijden evenwijdig zijn.

  • Gegeven is:
    • vierhoek ABCD
    • |AB| = |CD|
    • |AD| = |BC|
  • Te bewijzen:
    • de tegenoverliggende zijden zijn evenwijdig.
  1. Omdat |AD| = |BC| en |AB| = |CD| (gegeven) en |AC| = |AC| (overeenkomstige diagonaal) daarom is ∆ACD congruent aan ∆CAB (ZZZ)
    en dus zijn de driehoeken gelijkhoekig, met name ∠A1 = ∠C1 en ook ∠A2 = ∠C2 .
  2. Omdat ∠A2 = ∠C2 (stap 1) daarom Z-hoeken en dus is zijde AB evenwijdig aan zijde CD.
  3. Omdat ∠A1 = ∠C1 (stap 1) daarom Z-hoeken en dus is zijde AD evenwijdig aan zijde BC.
  4. Conclusie: de overstaande zijden zijn evenwijdig.

☐

top

Equivalente definities

Een parallellogram is een vierhoek waarvan de tegenoverliggende zijden even lang zijn.

Een parallellogram is een vierhoek waarvan de overstaande hoeken even groot zijn.

tegenoverliggende zijden even lang ⇒ overstaande hoeken even groot

Gegeven is dat een parallellogram een vierhoek is waarvan de tegenoverliggende zijden even lang zijn.

Te bewijzen is dat een parallellogram een vierhoek is waarvan de overstaande hoeken even groot zijn.

  • Gegeven is:
    • vierhoek ABCD
    • |AB| = |CD|
    • |AD| = |BC|
  • Te bewijzen:
    • de overstaande hoeken zijn even groot: ∠A = ∠C en ∠B = ∠D.
  1. Omdat |AD| = |BC| en |AB| = |CD| (gegeven) en |AC| = |AC| (overeenkomstige diagonaal) daarom is ∆ACD congruent aan ∆CAB (ZZZ)
    en dus zijn de driehoeken gelijkhoekig, met name ∠B1,2 = ∠D1,2.
  2. Evenzo is ∆ABD congruent aan ∆CDB (ZZZ) en dus gelijkhoekig: ∠A1,2 = ∠C1,2.
  3. Omdat ∠A = ∠C (stap 2) en ∠B = ∠D (stap 1) daarom zijn de overstaande hoeken even groot.
  4. Conclusie: de overstaande hoeken zijn even groot.

☐

top

Equivalente definities

Een parallellogram is een vierhoek waarvan de overstaande hoeken even groot zijn.

Een parallellogram is een vierhoek waarvan de tegenoverliggende zijden even lang zijn.

overstaande hoeken even groot ⇒ tegenoverliggende zijden even lang

Gegeven is dat een parallellogram een vierhoek is waarvan de overstaande hoeken even groot zijn.

Te bewijzen is dat een parallellogram een vierhoek is waarvan de tegenoverliggende zijden even lang zijn.

  • Gegeven is:
    • vierhoek ABCD
    • ∠A = ∠C
    • ∠B = ∠D
  • Te bewijzen:
    • de overstaande zijden zijn even lang: |AD| = |BC| en |AB| = |CD|
  1. Omdat in ∆ACD de hoekensom geldt ∠A1 + ∠D + ∠C2 = 180°
    en omdat in ∆ACB de hoekensom geldt ∠A2 + ∠B + ∠C1 = 180° en omdat ∠D = ∠B,
    daarom ∠A1 + ∠C2 = ∠A2 + ∠C1.
  2. Omdat ∠A = ∠C (gegeven),
    daarom ∠A1 + ∠A2 = ∠C1 + ∠C2.
  3. Opgeteld zijn de vergelijkingen van stap 1 en stap 2 samen ∠A1 + ∠C2 + ∠A1 + ∠A2 = ∠A2 + ∠C1 + ∠C1 + ∠C2,
    door links en rechts af te trekken de gelijke term ∠A2 + ∠C2,
    resteert ∠A1 + ∠A1 = ∠C1 + ∠C1,
    daarom ∠A1 = ∠C1.
  4. Omdat ∠A = ∠C (gegeven) en ∠A1 = ∠C1 (stap 3),
    daarom ∠A2 = ∠C2.
  5. Omdat ∆ACD congruent is aan ∆ACB (HHZ) daarom |AB| = |CD| en ook |AD| = |BC|.
  6. Conclusie: de overstaande zijden zijn even lang.

☐

top