Cirkel raaklijnen

Uitwerking Opdracht 30

Gegeven zijn twee rakende cirkels c₁ en c₂ met middelpunten M en N en raakpunt A.
Lijn l raakt cirkel c₁ in punt B.
De loodlijn op l door punt N snijdt lijn l in punt D en cirkel c₂ in de punten E en F.
Bewijs dat één van de punten E of F op lijn AB ligt.

• Gegeven is:
  • cirkel c₁ met middelpunt M
  • cirkel c₂ met middelpunt N
  • raakpunt A
  • lijn l die beide cirkel c₁ raakt in de punt B
  • loodlijn op l door punt N snijdt lijn l in punt D en cirkel c₂ in de punten E en F.
• Te bewijzen:
  • één van de punten E of F ligt op lijn AB.

Je mag er niet vanuit gaan dat punt A op lijn BF ligt.

1. Omdat lijn AM en lijn BM stralen zijn van dezelfde cirkel c₁,
   daarom |AM| = |BM|,
   dus is ∆ABM gelijkbenig en dus ∠MAB = ∠MBA.
2. Omdat lijn AN en lijn FN stralen zijn van dezelfde cirkel c₂,
   daarom |AN| = |FN|,
   dus is ∆AFN gelijkbenig en dus ∠NAF = ∠NFA.
3. Omdat beide cirkels elkaar raken in punt A,
   daarom hebben de stralen AN en AM een gemeenschappelijke raaklijn
   en dus liggen de punten M, A en N op één lijn.
4. Omdat lijn BM loodrecht staat op lijn l en lijn l loodrecht staat op lijn DENF, (gegeven)
   daarom zijn de lijnen DENF en MB evenwijdig.
5. Omdat de lijnen DENF en MB evenwijdig zijn, (stap 4)
   daarom maakt lijn MAN Z-hoeken en dus ∠ANF = ∠AMB.
6. Omdat de tophoeken van ∆AFN en ∆ABM even groot zijn, (stap 5)
   daarom zijn ook de basishoeken even groot
   dus ∠NAF = BAM.
7. Omdat de punten M, A en N op één lijn liggen, (stap 3)
   en de overstaande hoeken in punt A even groot zijn, (stap 6)
   daarom ligt lijn AF in het verlengde van lijn AB.
   en dus liggen de drie punten A, B en F op één lijn.
8. Conclusie: punten F, ligt op lijn AB.

☐