Cirkel raaklijnen

Uitwerking Opdracht 33

Gegeven zijn twee rakende cirkels c₁ en c₂ met middelpunten M₁ en M₁ en raakpunt S.
Bewijs dat de middelpunten en het raakpunt op één lijn liggen.

Gegeven is lijn l die beide cirkels raakt in de punten P en Q en punt T, het snijpunt van lijn l en de raaklijn door punt S.
Bewijs dat de punten P, Q en S op één cirkel liggen met middelpunt T.

• Gegeven is:
  • cirkel c₁ met middelpunt M₁
  • cirkel c₂ met middelpunt M₂
  • raakpunt S
  • lijn l die beide cirkels raakt in de punten P en Q
  • punt T, het snijpunt van lijn l en de raaklijn door punt S.
• Te bewijzen:
  • de punten P, Q en S liggen op één cirkel met middelpunt T.

Hoewel lijn l en punt T gegeven zijn, is het toch verstandig om na te denken over de meetkundige plaats van die lijn en dat punt.

Bij ieder paar rakende cirkels is er altijd één raaklijn die door het raakpunt gaat en zijn er altijd maar twee rakende lijnen. Deze drie lijnen maken samen een driehoek. De kleinste cirkel is dan de ingeschreven cirkel en de grootste cirkel is dan de aangeschreven cirkel. Conclusie is dat lijn PTQ echt bestaat.
De meetkundige plaats van punt T kun je bepalen met de eigenschap dat de deellijnen in punt T loodrecht op elkaar staan. Volgens de stelling van Thales is de meetkundige plaats van alle punten met een rechte hoek een cirkel, in dit geval de cirkel met middellijn M₁M₂ en als middelpunt het punt M halverwege de punten M₁ en M₂. Daarom zie je in de Geogebra uitwerking dat punt M en die cirkel. Punt T is dan het snijpunt van die cirkel en de raaklijn door punt S.
Hieronder staat de figuur met als hulplijnen de deellijnen zoals dat gedaan is in opdracht 32.

Aanpak is om te bewijzen dat |PT| = |ST| = |QT| want dan liggen de punten op één cirkel met middelpunt S.

1. Omdat |M₁P| = |M₁S| en omdat |M₁T| = |M₁T| en ∠P = ∠S = 90°
   daarom (ZZR) congruente driehoeken ∆M₁TP en ∆M₁TS.
   dus |PT| = |PS|.
2. Evenzo in cirkel c₂
   dus |QT| = |QS|.
3. Omdat (1) en (2) daarom |QT| = |QS| = |PS|
   dus liggen de punten op één cirkel.
4. Conclusie: de punten P, Q en S liggen op één cirkel met middelpunt T.

☐

Uit 1) volgt dus ook ∠M₁TP = ∠M₁TS, dus inderdaad is lijn M₁T een deellijn in ∠T.
Uit 2) idem, en volgt ook ∠M₁TM₂ = 90°.