Stelling van de Thales (omgekeerde)

Uitwerking Opdracht 7

Gegeven is driehoek PQR met de omgeschreven cirkel.
Het middelpunt M van deze cirkel ligt op de langste zijde van de driehoek.
Bewijs dat driehoek PQR rechthoekig is.

• Gegeven is:
  • ∆PQR met de punten P, Q en R op een cirkel
  • punt M middelpunt van die cirkel
  • punt M op langste zijde PQ
• Te bewijzen:
  • hoek R is recht

1. Omdat de punten P, Q en R op de cirkel liggen met middelpunt M, (gegeven)
   daarom |MP| = |MQ| = |MR|
2. Omdat |MP| = |MR| (stap 1)
   daarom is ∆MPR gelijkbenig,
   dus: ∠P = ∠R₁.
3. Evenzo, omdat |MQ| = |MR| (stap 1)
   daarom is ∆MQR gelijkbenig,
   dus: ∠Q = ∠R₂.
4. Omdat ∠P + ∠R₁ + ∠R₂ + ∠Q = 180° (hoekensom)
   en omdat ∠P = ∠R₁ (stap 2)
   en omdat ∠Q = ∠R₂ (stap 3)
   daarom 2 × ∠R₁ + 2 × ∠R₂ = 180°
   dus ∠R₁ + ∠R₂ = 90°.
5. Conclusie: ∠R is recht.

☐