Stelling van de middenparallel

Uitwerking Opdracht V-6a
bewijs met gelijkvormigheid

• Gegeven is:
  • ∆ABC
  • punt P halverwege AC
  • punt Q halverwege BC
• Te bewijzen:
  • |PQ| = ½|AB|
  • lijn PQ evenwijdig aan lijn AB

1. Omdat |AP| = |CP| = ½|AC| en |BQ| = |CQ| = ½|BC| (gegeven) en omdat ∠C = ∠C, daarom (zhz) is ∆ABC een vergroting van ∆PQC met factor 2.
   Dus: |AB| = 2×|PQ| oftewel |PQ| = ½|AB|
   Bovendien ∠P₁ = ∠A en ∠Q₁ = ∠C want in overeenkomstige hoeken zijn even groot.
2. Omdat ∠P₁ = ∠A en ∠Q₁ = ∠C (stap 1) daarom zijn het F-hoeken en dus is lijn PQ evenwijdig aan lijn AB.

☐

Uitwerking Opdracht V-6b
bewijs met congruentie

• Gegeven is:
  • ∆ABC
  • punt P halverwege AC
  • punt Q halverwege BC
• Te bewijzen:
  • |PQ| = ½|AB|
  • lijn PQ evenwijdig aan lijn AB

1. Construeer ∆ABC uit vier driehoeken die congruent zijn met ∆PQC, waarbij |QD| = |CP| = |AP| en |PD| = |QB| = |CQ|.
   
   NB: Het klinkt misschien flauw, maar in deze constructie geldt wel |AP| = |CP| maar omdat de meetkundige plaats van punt P niet noodzakelijkerwijs op lijn AC ligt, geldt alleen de driehoeksongelijkheid |AP| + |CP| ≥ |AC|.
   Dus moet eerst bewezen worden dat punt P zeker op lijn AC ligt
   (idem punt Q zeker op lijn BC).
2. De som van de hoeken van iedere driehoek is 180° (hoekensom).
3. Omdat ∠P₂ = ∠Q₁ en ∠P₃ = ∠C daarom ∠P₁ + ∠P₂ + ∠P₃ =  ∠P₁ + ∠Q₁ + ∠C = 180° (stap 2). Dus is ∠APC een gestrekte hoek en dus is punt P halverwege AC want |AP| = |CP| = ½|AC|.
4. Evenzo in punt Q is ∠BQC een gestrekte hoek met |BQ| = |CQ| = ½|BC|.
5. Evenzo in punt D is ∠ADB een gestrekte hoek met |PQ| = |AD| = |BD| = ½|AB|.
   Daarom |PQ| = ½|AB|.
6. Omdat lijn APC een rechte lijn is (stap 3), met ∠A = ∠P₁, daarom zijn er F-hoeken en dus is lijn PQ evenwijdig aan lijn AB.

☐