www.fransvanschooten.nl

5 vwo wiskunde B

Stelling van de middenparallel

Hoofdstuk 5


V-6a



 

Uitwerking Opdracht V-6a
bewijs met gelijkvormigheid

  • Gegeven is:
    • ABC
    • punt P halverwege AC
    • punt Q halverwege BC
  • Te bewijzen:
    • |PQ| = ½|AB|
    • lijn PQ evenwijdig aan lijn AB
  1. Omdat |AP| = |CP| = ½|AC| en |BQ| = |CQ| = ½|BC| (gegeven) en omdat ∠C = ∠C, daarom (zhz) is ∆ABC een vergroting van ∆PQC met factor 2.
    Dus: |AB| = 2×|PQ| oftewel |PQ| = ½|AB|
    Bovendien ∠P1 = ∠A en ∠Q1 = ∠C want in overeenkomstige hoeken zijn even groot.
  2. Omdat ∠P1 = ∠A en ∠Q1 = ∠C (stap 1) daarom zijn het F-hoeken en dus is lijn PQ evenwijdig aan lijn AB.


V-6b




Uitwerking Opdracht V-6b
bewijs met congruentie

  • Gegeven is:
    • ABC
    • punt P halverwege AC
    • punt Q halverwege BC
  • Te bewijzen:
    • |PQ| = ½|AB|
    • lijn PQ evenwijdig aan lijn AB
  1. Construeer ∆ABC uit vier driehoeken die congruent zijn met ∆PQC, waarbij |QD| = |CP| = |AP| en |PD| = |QB| = |CQ|.

    NB: Het klinkt misschien flauw, maar in deze constructie geldt wel |AP| = |CP| maar omdat de meetkundige plaats van punt P niet noodzakelijkerwijs op lijn AC ligt, geldt alleen de driehoeksongelijkheid |AP| + |CP| ≥ |AC|.
    Dus moet eerst bewezen worden dat punt P zeker op lijn AC ligt
    (idem punt Q zeker op lijn BC).
  2. De som van de hoeken van iedere driehoek is 180° (hoekensom).
  3. Omdat ∠P2 = ∠Q1 en ∠P3 = ∠C daarom ∠P1 + ∠P2 + ∠P3 =  ∠P1 + ∠Q1 + ∠C = 180° (stap 2). Dus is ∠APC een gestrekte hoek en dus is punt P halverwege AC want |AP| = |CP| = ½|AC|.
  4. Evenzo in punt Q is ∠BQC een gestrekte hoek met |BQ| = |CQ| = ½|BC|.
  5. Evenzo in punt D is ∠ADB een gestrekte hoek met |PQ| = |AD| = |BD| = ½|AB|.
    Daarom |PQ| = ½|AB|.
  6. Omdat lijn APC een rechte lijn is (stap 3), met ∠A = ∠P1, daarom zijn er F-hoeken en dus is lijn PQ evenwijdig aan lijn AB.

top