www.fransvanschooten.nl

 

 

Tangensregel

In iedere willekeurige driehoek ABC met hoeken α, β en γ en zijden a, b en c geldt de tangensregel:
 

a − b = tan(½(α − β))
a + b tan(½(α + β))

2

De tangensregel is een logische aanvulling op de sinusregel en de cosinusregel. Het aardige is dat een anoniem manuscript duidelijkheid verschafte over de meetkundige redenering achter de tangensregel.

 

 

Geschiedenis begint bij Viète

Kort voor 1600 waren wiskundigen op zoek naar nieuwe goniometrische verbanden. Langzaam maar zeker kwamen ze op nieuwe uitdrukkingen. Latijn was toen de wetenschappelijke taal. Uiteindelijk geeft ViŤte de tangensregel in woorden , maar het is een hele prestatie om in onderstaande zin de moderne uitdrukking te herkennen. Om te beginnen moet je weten dat er voor de tangens nog geen woord was. Viète heeft het op bladzijde 402 over de prosinus!

1.5

ETH rara: Opera Mathematica, bladzijde 402

top
 


Moderne Algebra

Rond 1900 verschoof de aandacht van meetkunde naar algebra. Het bewijs voor de tangensregel werd verlegd naar het toepassen van goniometrische regels als de som en verschilregel. Die regels krijg je meestal pas in 6 vwo.

sin(α) + sin(β) = 2 sin(½(α+β)) × cos(½(α-β))
sin(α) - sin(β) = 2 sin(½(α-β)) × cos(½(α+β))

Deze goniometrische regels zijn modern en de herleiding van de tangensregel gaat zonder meetkundige interpretatie. In de zeventiende eeuw moet er een meer meetkundig bewijs zijn geweest.

top
 


Manuscript

Het meetkundige idee achter de tangensregel heb ik teruggevonden in een 17de eeuws manuscript dat aangeboden wordt door Forum Rare Books.

In onderstaande tekening is een driehoek ABC getekend met daarbuiten dun getekend driehoek ADC en op zijde AD ligt punt E en het snijpunt van zijde AB met lijn CE is punt O. De getallen maken duidelijk dat driehoek BCO gelijkbenig is met top B, evenals dat driehoek ABD gelijkbenig is met top B.

1.5

Forum Rare Books

Tabulae sinuum tangentium secantium, ad radium 10 000 000

In 1627 publiceerde Frans van Schooten Sr een handzaam tabellenboek met regels, voorbeelden en bewijzen. Lange titels waren toen heel gewoon. De volledige titel is "Tabulae sinuum tangentium secantium, ad radium 10 000 000; met 't gebruyck der selve in rechtlinische Triangulen".

4

4

4

Tangensregel

top
 


GeoGebra

Een animatie van de bewijsstappen laat zien hoe de slimme hulplijnen zijn gekozen.

1.5
grote versie geogebra applet inclusief zoom

Pythagoras

Pythagoras is het wiskunde­tijdschrift dat zich ten doel stelt om jongeren kennis te laten maken met de leuke en uitdagende kanten van wiskunde. Pythagoras richt zich tot leerlingen van vwo en havo en alle anderen die jong van geest zijn.

In het juni nummer verscheen mijn bijdrage over de tangensregel en zijn positie in het Nederlandse wiskunde onderwijs.

Pythagoras

Artikel

 

 

 

 

Bartel Leendert van der Waerden

Bartel Leendert van der Waerden (1903 - 1996) was een internationaal geprezen Nederlands wiskundige. In zijn jonge jaren schreef hij invloedrijke werken over algebra. Op latere leeftijd schreef hij onderhoudend over de geschiedenis van de wiskunde.

Wikipedia

 

top
 


Kan het simpeler?

In 1930 vroeg Van der Waerden zich af waarom in de schoolboeken de aandacht uitging naar de tangensregel en dat goniometrische bewijs. Zijn standpunt was dat leerlingen wiskunde leren door zelf na te denken over triviale hulplijnen als de hoogtelijn.

Onder het huidige curriculum, worden wel de sinusregel en de cosinusregel onderwezen met hun afleiding via slimme hoogtelijnen. Op het examen wordt verwacht dat leerlingen die regels uit hun hoofd kennen. De tangensregel is een aardige verdieping. Mijn artikel in het tijdschrift Pythagoras kan gebruikt worden als lesbrief voor zo een verdiepingsles.

 

Literatuur

  • Frans van Schooten, (1646), Vietae opera mathematica, Leiden, Elsevier
    ETH rara
  • Van der Waerden, (1930), de tangensregel in de goniometrie, in: Euclides, 6e jaargang 1930, Nr. 5-6, Groningen, Noordhoff
    Archief Vakblad Euclides

top