www.fransvanschooten.nl

Tangensregel

In iedere willekeurige driehoek ABC met hoeken α, β en γ en zijden a, b en c geldt de tangensregel:

a − b	=	tan(½(α − β))
a + b	tan(½(α + β))

geschiedenis begint bij Viète
Viète verwoordde als eerste de tangensregel.
moderne algebra
Je kunt de tangensregel bewijzen met de som en verschilformule.
sin(α) + sin(β) = 2 sin(½(α+β)) × cos(½(α-β))
sin(α) - sin(β) = 2 sin(½(α-β)) × cos(½(α+β))
17^de eeuws manuscript
Forum Rare Books bezit een manuscript uit de 17^de eeuw waarin de tangensregel meetkundig gebruikt wordt.
animatie in geogebra
In deze animatie wordt de tangensregel stap voor stap uitgelegd.
volgens Van der Waerden kan het simpeler
Van der Waerden betoogde dat onderzoekende leerlingen de tangensregel niet nodig hebben.
literatuur
Online verwijzingen naar literatuur.

De tangensregel is een logische aanvulling op de sinusregel en de cosinusregel. Het aardige is dat een anoniem manuscript duidelijkheid verschafte over de meetkundige redenering achter de tangensregel.

Geschiedenis begint bij Viète

Kort voor 1600 waren wiskundigen op zoek naar nieuwe goniometrische verbanden. Langzaam maar zeker kwamen ze op nieuwe uitdrukkingen. Latijn was toen de wetenschappelijke taal. Uiteindelijk geeft Viète de tangensregel in woorden, maar het is een hele prestatie om in onderstaande zin de moderne uitdrukking te herkennen. Om te beginnen moet je weten dat er voor de tangens nog geen woord was. Viète heeft het op bladzijde 402 over de prosinus!

ETH rara: Opera Mathematica, bladzijde 402

Moderne Algebra

Rond 1900 verschoof de aandacht van meetkunde naar algebra. Het bewijs voor de tangensregel werd verlegd naar het toepassen van goniometrische regels als de som en verschilregel. Die regels krijg je meestal pas in 6 vwo.

sin(α) + sin(β) = 2 sin(½(α+β)) × cos(½(α-β))
sin(α) - sin(β) = 2 sin(½(α-β)) × cos(½(α+β))

Deze goniometrische regels zijn modern en de herleiding van de tangensregel gaat zonder meetkundige interpretatie. In de zeventiende eeuw moet er een meer meetkundig bewijs zijn geweest.

Manuscript

Het meetkundige idee achter de tangensregel heb ik teruggevonden in een 17^de eeuws manuscript dat aangeboden wordt door Forum Rare Books.

In onderstaande tekening is een driehoek ABC getekend met daarbuiten dun getekend driehoek ADC en op zijde AD ligt punt E en het snijpunt van zijde AB met lijn CE is punt O. De getallen maken duidelijk dat driehoek BCO gelijkbenig is met top B, evenals dat driehoek ABD gelijkbenig is met top B.

Forum Rare Books

Tabulae sinuum tangentium secantium, ad radium 10 000 000

In 1627 publiceerde Frans van Schooten Sr een handzaam tabellenboek met regels, voorbeelden en bewijzen. Lange titels waren toen heel gewoon. De volledige titel is "Tabulae sinuum tangentium secantium, ad radium 10 000 000; met 't gebruyck der selve in rechtlinische Triangulen".

GeoGebra

Een animatie van de bewijsstappen laat zien hoe de slimme hulplijnen zijn gekozen.

1.5
grote versie geogebra applet inclusief zoom

Pythagoras

Pythagoras is het wiskundetijdschrift dat zich ten doel stelt om jongeren kennis te laten maken met de leuke en uitdagende kanten van wiskunde. Pythagoras richt zich tot leerlingen van vwo en havo en alle anderen die jong van geest zijn.

In het juni nummer verscheen mijn bijdrage over de tangensregel en zijn positie in het Nederlandse wiskunde onderwijs. Een herdruk is geplaatst in het tijdschrift Vector.

Bartel Leendert van der Waerden

Bartel Leendert van der Waerden (1903 - 1996) was een internationaal geprezen Nederlands wiskundige. In zijn jonge jaren schreef hij invloedrijke werken over algebra. Op latere leeftijd schreef hij onderhoudend over de geschiedenis van de wiskunde.

Kan het simpeler?

In 1930 vroeg Van der Waerden zich af waarom in de schoolboeken de aandacht uitging naar de tangensregel en dat goniometrische bewijs. Zijn standpunt was dat leerlingen wiskunde leren door zelf na te denken over triviale hulplijnen als de hoogtelijn.

Onder het huidige curriculum, worden wel de sinusregel en de cosinusregel onderwezen met hun afleiding via slimme hoogtelijnen. Op het examen wordt verwacht dat leerlingen die regels uit hun hoofd kennen. De tangensregel is een aardige verdieping. Mijn artikel in het tijdschrift Pythagoras kan gebruikt worden als lesbrief voor zo een verdiepingsles.

Literatuur

Frans van Schooten, (1646), Vietae opera mathematica, Leiden, Elsevier
ETH rara
Van der Waerden, (1930), de tangensregel in de goniometrie, in: Euclides, 6e jaargang 1930, Nr. 5-6, Groningen, Noordhoff
Archief Vakblad Euclides