www.fransvanschooten.nl

 

Ibn al-Haytham

Ibn al-Haytham (965-1041), geboren in Basra (Irak) boekte grote voortgang in het begrijpen van het fenomeen licht. Met experimentele opstellingen onderzocht hij de weerkaatsing van licht in spiegels, niet alleen platte, maar juist ook in gebogen of kegelvormige spiegels.

YouTube: Apparatus for the Observation of the Reflection of Light

Een tekeninstrument om weerspiegelpunten te vinden

In 2013 ontdekte ik in het Istanbul Museum of the History of Science and Technology in Islam een bijzonder tekeninstrument. Dankzij de steun van Prof. Dr. Fuat Sezgin van het Institut für Geschichte der Arabisch-Islamischen Wissenschaften, onderdeel van de Johann Wolfgang Goethe Universiteit, Frankfurt aan de Main, kon ik onderzoek doen naar de oorsprong en werking ervan.
In het winternummer van Uitwiskeling (2019 35/1) verscheen mijn artikel over een tekeninstrument waarmee je spelenderwijs de weerspiegelpunten van een voorwerp in holle of bolle spiegels kunt vinden. Ook heb ik workshops gegeven op de NVvW verenigingsdag van 2018. In 2019 kreeg het onderzoek een vervolg met een verrassende ontknoping. Hierover is gepubliceerd in het Engels en het Turks. Een nieuwe workshop wordt gegeven op de NWD in 2020.

Uitwiskeling

... a source of inspiration for modern highschool education ...

... yansima noktalarini bulmak için bir araç.

Symposium 2019

NWD 2020

Bijdrage 2021

Het probleem komt in verschillende gedaanten terug. Oorspronkelijk was het een optisch probleem. Hieronder vier variaties.

  • Optisch geformuleerd: gegeven een holle of bolle cirkel, de positie van een lichtbron, de positie van het oog van de waarnemer, op welke (meervoud) posities in de spiegel ziet het oog de lichtbron.
  • Sportief geformuleerd: gegeven een rond biljart, de positie van een witte biljartbal en de positie van een rode biljartbal, naar welk punt of welke punten op de band van het biljart moet je de ene bal stoten opdat het de andere bal vol raakt.
  • Nog sportiever geformuleerd, gegeven een rechthoekig of rond of ellipsvormig of ovaal zwembad met een zwemmer en een bal, naar welk punt moet de zwemmer zwemmen om met de kortste afstand de bal op te halen als hij eerst de rand van het zwembad aan moet tikken.
  • Wiskundig geformuleerd: gegeven twee punten, oog en lichtbron, gegeven een kromme, in welke punten is de hoek tussen raaklijn aan de kromme en de lijn van oog naar raakpunt even groot als de hoek tussen diezelfde raaklijn en de lijn van lichtbron naar raakpunt.

3

 

3

Gemeenschappelijk is dat alle formuleringen gebaseerd zijn op de wet die stelt dat de hoek van inval gelijk moet zijn aan de hoek van uitval.

De achterliggende wiskunde is eeuwenoud. Een auteur is bijvoorbeeld Ptolemaeus (±100 − ±160) die er over schrijft in zijn werk Optica. Een andere auteur is Ibn Al Haytham (965−1040), ook bekend in Europa onder de naam Alhazen. In de zeventiende eeuw boog Christiaan Huygens (1629−1695) zich over dit probleem. Hun wiskunde is voor de meeste middelbare scholieren te hoog gegrepen.

 

top
 

Tekeninstrumenten

In het Istanbul Museum of the History of Science and Technology in Islam is een tekeninstrument tentoongesteld om dit probleem op een praktische manier op te lossen. Volgens de catalogus liet Marcolongo (1862−1943) zich inspireren door een tekening van Leonardo da Vinci (1452−1519). De tekst en de bijbehorende beschrijving van da Vinci staat in de Codex Atlanticus. Zorgvuldige studie wijst uit dat het tekeninstrument van Marcolongo lijkt op dat van Leonardo da Vinci, maar er zijn ook wezenlijke verschillen.

Het tekeninstrument dat Marcolongo ontwikkelde is voor een breed publiek toegankelijk en geschikt voor een praktische les waarin leerlingen van karton zelf het instrument maken en op zoek gaan naar weerspiegelpunten. Een animatie in Geogebra staat op deze webpagina.

animatie Marcolongo op deze webpagina

Het tekeninstrument dat Leonardo da Vinci bedacht is ook geschikt voor een praktische les. Een animatie in Geogebra staat ook op deze webpagina.

animatie Leonardo Da Vinci op deze webpagina

 

top
 

Experimenten van Ibn al-Haytham

Ibn al-Haytham was een origineel denker, een experimentator en een knap wiskundige. In zijn werk beschrijft hij nauwgezet de instrumenten die hij bedacht voor zijn experimenten. In de zestiende eeuw verscheen een vertaling in het Latijn. Mensen als Snel, Descartes, Barrow, Huygens, Sluse en Newton schreven over optische problemen als weerkaatsing, lichtbreking en regenbogen. Zij gaven het probleem van de weerkaatsing in cirkelvormige spiegels de naam van Alhazen. Tijdens de vorige eeuw hebben geleerden als Nazif, Sabra, Schramm en Smith intensief zijn werken bestudeerd en er uitgebreid over gepubliceerd. Musea hebben op basis van hun bevindingen replica's gemaakt. Het Istanbul Museum of the History of Science and Technology in Islam heeft ook een video gemaakt.

YouTube: Apparatus for the Observation of the Reflection of Light

2

    

2

2

Kamal al-Din Hasan ibn Ali ibn Hasan al-Farisi. (1309) Tanqih al-manazir, MS Istanbul, Topkapi Kütüphanesi, folio 167b-168a Risner, F. (1572). Opticae Thesaurus Alhazeni Arabis. page 184 Study of a convex circular mirror with center H, eye and object at A and B, four points of reflection at D, E, G and Z

Tekeninstrument

Volgens de catalogus van het Istanbul Museum of the History of Science and Technology in Islam is het tekeninstrument uitgevonden door Leonardo da Vinci en uitgewerkt door de Italiaanse professor Roberto Marcolongo.

Wikipedia: Leonardo da Vinci

Wikipedia: Roberto Marcolongo

 

Opdrachten

Onderstaande opdrachten kunnen met het tekeninstrument uitgevoerd worden.




 

top
 

Animatie Marcolongo

Gebruik de sleper om de verschillende spiegels te onderzoeken: vlak, bolle cirkel, holle cirkel, bolle ellips of holle ellips. Je kunt zelf kiezen waar het oog en de lichtbron komen te staan ten opzichte van de spiegel. Ook kun je de vorm van de spiegel bepalen. De kijkrichting kun je instellen met de sleper op de cirkel om het oog. Met de buttons kun je er voor kiezen om het tekeninstrument zichtbaar te maken of de meetkundige plaats van de weerspiegelpunten te tonen.

2
Start animatie

Animatie

Een animatie van het instrument van Marcolongo staat in de GeoGebraTube

GeoGebra Marcolongo

 

Leonardo da Vinci

Op www.leonardodigitale.com staat veel van het werk van Leonardo da Vinci.

leonardodigitale.com

 

Bron

Onderstaande afbeelding is de bron van de transcriptie. De afbeelding is afkomstig van

leonardodigitale.com

top
 

Tekst Leonardo da Vinci

Hieronder staat links de originele tekst van Leonardo da Vinci en rechts mijn vertaling in het Nederlands. Voor de duidelijkheid zijn alle punten in de tekst en in de figuur met hoofdletters aangeduid.

Colonna principale.
Due figure d'uno stesso strumento, con:
d - b - a - c ; d - b S - t o a - g - m n - f
Per trovare l'angolo della contingenzia per via di strumento. Sia adunque lo sperico dove si vede l'angolo della refressione ONM, e 'l punto A sia il luminoso e 'l B sia l'occhio e lo O sia l'angolo che si cerca, per vedervi il simulacro di tal luminoso. Ora piglierai una lista di legno sottile, larga men di mezzo dito, e sia DF, nella quale sia uno stretto canale, e questa, con una sottile agucchia o spilletto si fermi sopra il centro di tale cerchio ONM, passando per esso canale delle riga. Di poi congiugni due altri listelli equali infra loro, lunghi a tuo beneplacito, e questi si congiungano a uso di seste nel medesimo polo, che è stabilito nella fronte della predetta riga DF. E fatto questo, tu congiungerai la lista SG alla fronte della lista DS nel polo S, a mo' di sesto che s'apre e serra, e farali il suo canale, come facesti alla lista DF, e ferma un'agucchia nel luminoso A, che passi per il detto canale del listello SG. Ora tu hai a pigliare lo stremo del listello SG nel G e moverlo tanto in su e giu intorno al polo A (che, v' è il detto spilletto stabilito in loco del luminoso), che tu vedrai la circunferenzia del cerchio, nell' angolo della contingenzia O, fatto dalla divisione de' due listelli; e per gli angoli equali che si generano dentro al quadrato SBDO, si prova la perfezione dell' opera, cioè li angoli superiori sono infra loro equali, e li laterali sono equali infra loro, e 'l simile si conferma essere nelli angoli della contingenzia OT , eccetera. DO è messo infra l'occhio e 'l luminoso con altezza e vicinità all'occhio, e 'l luminoso a beneplacito perché non fa caso, pure che DS e DB sieno equali infra loro e che lo scontro finale delli 2 canali sien sopra la circunferenza del cerchio.

Een instrument om bij benadering de hoek van weerspiegeling te vinden.
Gegeven cirkel OMN waarop het weerspiegelingspunt gevonden moet worden. Punt A is de lichtbron, punt B is het oog en punt O is het gevraagde weerspiegelingspunt waar het oog het beeld van de lichtbron ziet. Neem een houten latje DF van een halve vinger dik met een gleuf. Prik een speld in punt C, het midden van cirkel OMN en laat die speld vallen in de gleuf van lat DF. Bevestig twee even lange latjes, korter dan DF aan elkaar in punt D. Dat zijn de latjes BD en DS. Bevestig een lange lat SG met gleuf in punt S. Prik een speld in punt A en laat die vallen in de gleuf van lat SG.

Manoeuvreer vanuit punt G, het einde van lat SG zodanig dat de latten SG en DF elkaar kruisen in een punt op cirkel OMN.

In de tekst van Leonardo da Vinci staat niet dat lat SG zodanig geplaats moet worden dat punt S op de cirkel om punt C door punt B moet gaan, maar dat is wel nadrukkelijk weergegeven in zijn bijbehorende tekening.

Bewijs Leonardo da Vinci

Leonardo da Vinci geeft in zijn tekst een kort bewijs. Hij stelt dat de betreffende hoeken gelijk zijn.

Wanneer punt O gevonden is, namelijk op de spiegelrand en punt S ligt op de cirkel om punt C, het midden van de spiegelcirkel, door punt B, het oog, dan is vierhoek CBDS een vlieger omdat lijnstuk BD even lang is als lijnstuk DS en lijnstuk CB even lang is als lijnstuk CS, uit de aard der constructie. Eigenschap van een vlieger is dat diagonaal OD een deelijn is met gelijke hoeken BOD en SOD. Lijn COD gaat door het middelpunt van de spiegelcirkel en staat dus loodrecht op de raaklijn aan die cirkel. Punt A ligt op zijde OS. Daarom zijn de hoeken die lijnen OA en OB maken met de raaklijn ook aan elkaar gelijk. Conclusie, wanneer het werkstuk is volbracht, dan is de hoek van inval gelijk aan de hoek van uitval. Het oog in punt B ziet dan in punt O het beeld van de lichtbron in punt A.


top
 

Animatie Leonardo da Vinci

Hieronder staat een afbeelding van de animatie met Geogebra. Stapsgewijs wordt uitgelegd hoe alle lijnen, cirkels en krommen getekend kunnen worden.

2
Start animatie

Animatie

Een animatie van het instrument van Leonardo da Vinci staat in de GeoGebraTube

GeoGebra Leonardo da Vinci

 

 

 

 

 

top
 

top
 

Literatuur

 

 

 

 

 

Astrolabes

The catalogue of the Collection of Instruments of the Institute for the History of Arabic and Islamic Sciences describes many ancient astrolabes and shows high quality pictures of replicas.

Geogebra

Catalogue of the Collection of Instruments

top
 

 English  Turkish