Yansıma noktalarını bulmak için bir çizim aracı
2013 yılında İstanbul Bilim ve Teknoloji Tarihi Müzesi’nde özel bir çizim aracı keşfettim. Frankfurt Main’deki Johann Wolfgang Goethe Üniversitesi, Arap-İslam Bilimleri Enstitüsü’nden Prof. Dr. Fuat Sezgin’in destekleri sayesinde aracın kökenini ve işleyişini araştıma fırsatı buldum.
Süreli yayınlanan Flaman dergisinin kış sayısında (2019 35/1), bu eşsiz çizim aracı hakkındaki makalem yayınlandı. "Hollandalı Matematik Öğretmenleri Topluluğu" için bu çizim aracı hakkında bir atölye çalışması hazırladım. Çizim aracı, bir nesnenin içbükey veya dışbükey aynalardaki yansıma noktalarını eğlenceli bir şekilde bulmanıza yardımcı olmaktadır. Geometrik yapılarda, iyi bir yaklaşım sağlamakla birlikte matematiksel kesinliği
bulunmamaktadır.
|
Simdi de, Leonardo da Vinci tarafindan yapilan araçla çözüme kavusan "Alhazen problemi"ni ana hatlariyla ele alacagim. Aslinda, bu bir optik problemidir. Fakat, optikle alakasi olmayan başka esdeger yollarla da ifade edilebilir. Burada aynı problem dört farklı şekilde dile getirilmiştir.
Genellendiğinde tüm bu formüller, geliş açısının yansıma açısına eşit olmasını gerektiren yasaya dayanir. Altındaki matematik ise eski devirlere aittir. Bir müsebbip örneğin Ptolemy (±100 − ±160) Optica adlı çalişmasında yansımalar hakkında yazdı. Diğer bir bilim insanı ise Ibnü'l-Heysem (965−1040) avrupada Alhazen olarak tanınıyor. 17. yüzyılda, Christiaan Huygens (1629−1695) de bu problemler hakkında çalışmıştı. Bu bilim adamları matematik problemleri birçok lise öğrencisi için fazla iddialı olacaktır. İstanbul İslam Bilim ve Teknoloji Tarihi Müzesi’nde bu problemi pratik bir şekilde çözebilmek için bir araç sergilenmekte. Kataloğa göre, Marcolongo (1862−1943) Leonardo da Vinci’nin (1452−1519) çizimlerinden ilham almıştı. Da Vinci’nin metni ve beraberindeki açıklamaları Leonardo’nun Defterleri’nde bulunuyordu. Dikkatlı bir çalısma bize Marcolongo’nun çizim aracının Leonardo da Vinci’ninkine benzediğini ancak ciddi farklılıkların da olduğunu gösteriyor.
|
|
Çizim aracı
Marcolongo tarafından geliştirilen çizim aracı geniş bir kitle için kolayca anlaşılabilir. Ögrencilerin, yansıma aracının kartondan ürettikleri pratik bir ders için uygundur. Geogebra’da oluşturulmuş bir animasyon bu web sayfasında bulunmaktadır.
Leonardo da Vinci tarafından geliştirilen çizim aracı da pratik bir ders için uygun. Geogebra’da oluşturulmuş bir animasyon da bu web sayfasında bulunmaktadır.
Ibnü'l-Heysem ve Işık Işınları
Ibnü'l-Heysem, 965 yılında, bugün Irak sınırlarında bulunan Basra'da doğmuş ve 1041 yılı civarında yaşamını noktalamıştır. Matematik, optik ve astronomi gibi birçok alanda yazılar yazmıştır. Ibnü'l- Heysem, Batlamyus'tan bu yana optik alanında büyük adımlar atan ilk bilim insanı olarak, bu alandaki buluşlarından dolayı övülmüştür. Yüzyıllar sonra, optikle ilgili de çalışmalarda bulunan Johannes Kepler, Willibrord Snell, Isaac Beeckman, Thomas Harriot ve Christiaan Huygens gibi ilim adamları, Ibnü'l Heysem'in eserlerindeki matematiksel derinliği takdir etmiş ve onu önemli bir öncü olarak görmüşlerdir.
Smith'e [Smith, 2006, p. xvii] göre "Alhazen deneyi (eşit açılar prensibini kanıtlamak) kullanılan araçlar ve kavramsal çerçeve bakımından Batlamyus'u ışık yılları ölçeğinde aşmıştır" ve o "belirli bir obje noktasından belirli bir görüş merkezine yansıyacak ışınımın içbükey ya da dışbükey küresel ayna yüzeyinde tam olarak nerede olduğunu saptamak" gibi büyük bir adım atmıştır.
Batlamyus, problemi el almakla birlikte, göz ve ışık kaynağının silindirik aynanin merkezine aynı uzaklıkta olduğu daha basit durumlarla kendisini sinirlandirmiştir. Göz ve ışıgın merkeze aynı uzaklıkta olmadigi genel durum ise çok daha zor ve karışık bir konudur. Ibnü'l-Heysem bunu pratik deneyler, konik keşitler ve kesin matematik kanıtların yardımıyla çözmüştür.
Işık olgusu ve biz insanların nesneleri gözleriyle nasıl gözlemlediği olgusu basit değildir. Günümüzde ders kitapları ve eğitici filmler gibi kaynaklar sayesinde bu konular hakkında bilgi sahibi olmak oldukça kolay iken, birçok problemi kendi başına çözmek zorunda kalan Ibnü'l-Heysem'in zamanında bu kaynaklar bulunmamaktaydı. Dahası, Ibnü'l-Heysem yerleşik inançlara karşı çıkmak zorunda kaldı. Gözün çalışma prensibi hâlâ bilinmiyordu ve müthiş derecede pürüzsüz aynalar o zamanlar lükstü. Silindirik ya da konik aynaları elde etmek hiç kolay değildi.
Ibnü'l-Heysem, ışık ışınlarının gözümüze nesneden düz çizgisinde ulaştığı fikrini öne sürdü. Ayrıca, geliş açısının yansıma açısına eşit olduğunu belirterek yansıma yasasını ortaya koydu. Ancak, onun tam olarak - örneğin; ışık, sudan havaya ya da havadan suya geçiş yaptığında yön değişimini belirleyen - kırılma kanununu tam olarak bildiğini söyleyemeyiz. Halbuki, bu kanun birkaç yıl önce Ibn Sahl tarafından anlaşılmıştı ve 17. yy'da Avrupa'da Snell ve Descartes tarafından bağımsız olarak yeniden keşfedildi.
Nazif [Nazif 1942] Ibnü'l-Heysem'in Optik adlı eserinin el yazmalarını inceledi. Arap dilinde etkileyici bir uyarlama ve yorum yazdı. Ibnü'l-Heysem'in ne tür deneyler yaptığını anlamamıza yardım eden şekiller ekledi. Profesör Sezgin, Nazif'in kitaplarını çoğalttığı ve bu çizimlere dayalı bir çalışan bir düzenek yaptırdı. Bu düzeneğin videosunun da olmasını sağladı. İlgilenen herkez Youtube'da Profesör Sezgin'in videolarını izleyebilir. Bu videolar sayesinde, Ibnü'l-Heysem gibi Islam alimlerinin bilime katkıları dolayısıyla övgüyü hak ettikleri hemen anlaşılmaktadır.
|
| |
| ||
| Kamal al-Din Hasan ibn Ali ibn Hasan al-Farisi. (1309) Tanqih al-manazir, MS Istanbul, Topkapi Kütüphanesi, folio 167b-168a | Risner, F. (1572). Opticae Thesaurus Alhazeni Arabis. page 184 Study of a convex circular mirror with center H, eye and object at A and B, four points of reflection at D, E, G and Z. |
Marcolongo Animasyonu
Kaydıracı farkli türde aynalar seçmek için kullanabilirsiniz: düz, çembersel içbükey, çembersel dişbükey, eliptik içbükey, eliptik dişbükey. Göz ve ışık kaynağının aynaya göre nerede konumlanması gerektiğini seçebilirsiniz. Görüntüleme yönünü gözün çevresindeki hareket eden nokta sayesinde belirleyebilirsiniz. Butonlar sayesinde çizim aracını görünür yapabilir, yansıma noktalarının geometrik noktalarını gösterebilirsiniz.
Eğer animasyon tarayıcınızda düzgün görüntülenmiyorsa, bu linki tam ekran animasyonu olarak seçiniz
daha büyük sürüm animasyonuna geogebra
Leonardo da Vinci'nin orijinal metni
|
Sağdaki Leonardo da Vinci’nin orijinal metni aşağidadır. Netlik açısından, metindeki tüm noktalar büyük harflerle işaretlenmiştir. | |
|
Colonna principale.
|
|
Da Vinci, yapısi nedeniyle SBDO dörtgeninin istenilen özelliklere sahip olduğu sonucuna varır. O noktasındaki açılar birbirine eşit, OB ve OS kenarları da birbirine eşittir. BD ve DS kenarlarına da eşit olabilirler fakat bu gerekli değildir.
Ancak, Da Vinci'nin daha kesin olmasını ve daha çok kelime kullanmasını isterdik. Yazıda çember merkezinin adından bahsetmemiştir. Fakat, çiziminde bu merkezin adı C noktası olarak işaretlenmiştir. Bu çemberi kasten çizmesine rağmen, yazıda, S noktasınin B içinden geçen C merkezi etrafındaki çemberde olması gerektiğini belirten ikinci ön koşuldan bahsetmiyor. S noktası ve ONM çemberinin C merkezi arasına, merkez C noktası ve B noktası arasındaki arduvaz ya da kirişle aynı boyutta olacak bir arduvaz ya da kiriş önermemektedir. Yansıma noktasınin doğru konumunu bulmak için böyle bir ekleme olması durumu daha da kolaylaştırabilirdi. Sonuç olarak, gerçeklestirilen çizime göre CB, CS'ye eşittir.
Matematiksel Kanit
Çizime göre, CB CS'ye ve BD DS'ye eşit olduğunda, CBDS dörtgeni uçurtma şeklindedir. Bu nedenle, CBD ve CSD üçgenleri benzerdir ki bu BDO açısının SDO açısına eşit olduğu anlamına gelmektedir. OBD ve OSD üçgenleri, D ortak noktasında eşit açı ve kenarları olduğu için de benzerdir. Bu yüzden, tüm yöndes açılar eşittir. Bu da DOS açısının DOB açısına eşit olduğu anlamına gelmektedir. Küresel aynada FD normali tegete diktir. Bundan dolayı, OA (A ışık kaynağı) ve teget arasındaki ve OB (B göz) ve teget arasındaki açılar da birbirine eşittir. Sonuç olarak, Leonardo'nun çizimi geliş açısının yansıma açısına eşit olduğunu kesinleştirmektedir!
Da Vinci'ye Karsi Marcolongo
Böylece, Marcolongo eskenar dörtgen içeren bir araç tasarlarken, Da Vinci'nin araci bir uçurtma oluşturmaktadir. Bu nedenle; "Marcolongo, Da Vinci'nin orijinal fikirlerinden ilham alarak yeni bir araç geliştirmiştir" diyebiliriz. Dahasi, iki araç arasinda çarpici bir fark vardır: Da Vinci çizimine, Margolongo'nun sadece sağ boşlukta bir yerde olmasını talep ettigi göz noktası olan B'den başlamıştır.
Dutch
English