www.fransvanschooten.nl


Op deze bladzijde staat de zevende opdracht.
Een volgende opdracht voor leerlingen, staat op bladzijde 55.

opdracht 8



VII

Van een vierhoekig stuk moeras ABCD zijn de afmetingen bekend: AB = 58,5 en BC = 27,3 en CD = 50,0 en AD = 32,0.
In het verlengde van AD zijn de punten E en F met DE = 27,5 en CE = 32,5.

Gegeven is dat de hoek tussen lijn AF en FC recht is.
Hoe groot is de oppervlakte van vierhoek ABCD?

notatie

  1.   
    • tip

      Van Schooten gebruikt in zijn tekening niet de moderne decimale komma notatie.
      Hij schrijft 50 en 585 , en bedoelt daarmee 50 eenheden en 585 tienden, dat wil zeggen 50,0 en 58,5. Deze notatie is ingevoerd door Simon Stevin in zijn werk "De Thiende".

      DBNL: De Thiende

      Ad Davidse: De Thiende

tip

  1.   
    • antwoord

      Bereken eerst de lengte van EF en CF en dan de oppervlakte van driehoek ADC.
      Bereken daarna de lengte van AC en BG en dan de oppervlakte van driehoek ACB.

antwoord

  1.   
    • antwoord

      Bereken eerst de lengte van CF, de gemeenschappelijke hoogtelijn van de driehoeken DCE en ECF.
      Noem EF = x en CF = y. Uit (27,5+x)² + y² = 50,0² en x² + y² = 32,5² volgt 27,5² + 2×27,5×x = 50,0² −32,5² en dus is EF = x = 12,5 en CF = y = 30,0.
      De oppervlakte van driehoek ACD is nu de helft van het product van AD en CF: ½ × 32,0 × 30,0 = 480,00.

      Bereken daarna AC en BG.
      Omdat AF = 32,0 + 27,5 + 12,5 = 72,0 en omdat CF = 30,0 en omdat AC2 = AF2 + CF2 daarom is AC = 78,0.
      Noem BG = y en CG = x en AG = 72,0−x. Uit |AG|² + |BG|² = |AB|² en |CG|² + |BG|² = |BC|² volgt 58,5² − 27,3² =(72,0−x)² − x)² dus 72,0² − 58,5² + 27,3² = 2×72,0×x zodat CG = x = 21,84.
      Uit |BG|² = |BC|² − |CG|² volgt BG = 16,38.
      De oppervlakte van driehoek ABC is nu de helft van het product van AC en BG: ½ × 78,0 × 16,38 = 638,82.

      De oppervlakte van vierhoek ABCD is nu de som van de oppervlaktes van driehoeken ADC en ACB: 480,00 + 638,82 = 1118,82.

opdracht 6

opdracht 8

 

Notatie

Merk op dat Frans van Schooten de plaats van de komma aangeeft op de manier zoals zijn vader Frans Senior dat overgenomen heeft van Simon Stevin. Het getal 32 met een nul in het rondje betekent dat het getal 32 helen is, maar het getal 275 met een één in het rondje betekent dat het om het getal 27,5 gaat.

Bij de oprichting van de Duytsche Mathematique wordt gewezen op de noodzaak om te rekenen in het tientalligstelsel.

Oprichting Duytsche Mathematique

Simon Stevin: De Thiende

 

top