VI

Gegeven driehoek ABC met hoogtelijn BD waarbij punt D op zijde AC ligt, dan wel in het verlengde daarvan.
Toon aan dat het verschil van de oppervlakten van de vierkanten op de zijden AB en BC even groot is als het verschil van de oppervlakten van de vierkanten op de zijden AD en CD.

tip

1.   

   • tip

     Gebruik hoogtelijn BD.

     In de aantekenschriften van Frans van Schooten Junior staan voorbeelden van dit soort driehoeken, bijvoorbeeld in GN108. Hij zocht onder andere naar geheel­tallige driehoeken waarvan de hoogtelijn buiten de driehoek valt en het verlengde van de overstaande zijde geheel­tallig is.

     aantekeningen GN108
     hoogtelijn binnen de driehoek
     hoogtelijn buiten de driehoek
     rekenen aan hoogtelijnen

antwoord

1.   

   • antwoord

     Door hoogtelijn BD ontstaan in driehoek ABC twee rechthoekige driehoeken: ABD en CBD. Voor beide driehoeken geldt de stelling van Pythagoras: |AB|² = |AD|² + |BD|² en |BC|² = |CD|² + |BD|². Zijde BD hebben ze gemeenschappelijk. Voor AB > BC geldt dat |AB|² − |BC|² = |AD|² − |CD|²,
     Voor AB < BC gaat een overeenkomstige redenering op.
     Daarmee is het gevraagde aangetoond.

opdracht 3

opdracht 7