Snijdende lijnen

• Gegeven is:
  • AB = AF
  • AD = AE
  • punt G is snijpunt van BE en DF.
  • AB ≠ AD

1. Toon aan dat ∆ABE = ∆AFD en dat dus BE = DF en dat dus ∠BEF = ∠BDF en ook ∠ABE = ∠AFD
   
   Antwoord: Beide driehoeken hebben een even grote hoek in punt A want ¹⁵ overstaande hoeken zijn even groot: ∠A₁ = ∠A₃. De aanliggende zijden in hoek A zijn even lang: AB = AF en AD = AE. Daarom ⁴ is ∆ABE = ∆AFD.
   Dus zijn alle overeen­komstige zijden even lang, BE = DF, en ook alle overeen­komstige hoeken even groot: ∠E₁ = ∠D₁ en ∠B₁ = ∠F₁.
2. Toon aan dat ∆EFG = ∆DBG en dat dus DG = EG en ook BG = FG.
   
   Antwoord: Omdat ∠B₁ = ∠F₁ (stap 1), daarom ¹³ zijn de neven­hoeken even groot: ∠B_2,3 = ∠F_2,3. Omdat AB = AF en AE = AD (gegeven), daarom BD = EF. Omdat beide driehoeken gelijke hoeken hebben en de overeen­komstige zijden even lang zijn, daarom ²⁶ zijn beide driehoeken aan elkaar gelijk: ∆EFG = ∆DBG. Dus zijn ook de overeen­komstige zijden even lang: DG = EG. Omdat BE = DF, daarom BG = FG.
3. Benoem alle gelijkbenige driehoeken.
   
   Antwoord: Gelijkbenig zijn:
   • ∆ADE omdat AD = AE (gegeven)
   • ∆ABF omdat AB = AF (gegeven)
   • ∆DGE omdat DG = EG (stap 2)
   • ∆GBF omdat GB = GF (stap 2)
4. Toon aan dat ∆ABG = ∆AFG en dat dus lijn AG de deellijn in ∠A is.
   
   Antwoord: Omdat AB = AF (gegeven) en omdat ∠B_2,3 = ∠F_2,3 (stap 2) en omdat BG = FG (stap 2), daarom ⁴ is ∆ABG = ∆AFG en dus ∠A₄ = ∠A₅.
   Twee driehoeken zijn gelijk als ze twee evenlange zijden hebben en als de ingesloten hoek even groot is. In dit geval zijn de hoeken in B en F even groot en zijn de aanliggende zijden even lang. Dat betekent dat de driehoeken even grote hoeken en even lange zijden hebben. Conclusie is dat ∆ABG = ∆AFG en dat ∠A₄ = ∠A₅ en dat lijn AG de deellijn in ∠A is.
5. Leg uit dat de erfenis van de boer eerlijk verdeeld is
   
   Antwoord: Gelijkbenige driehoek ABF is lijnsymmetrisch: de deellijn is de symmetrie-as. Gevolg is dat iedere graspol P op afstand AP van de boerderij in A gespiegeld kan worden naar graspol Q op dezelfde afstand van die boerderij. Daarom is de erfenis van de boer eerlijk verdeeld.

Proposities van Euclides

4. (Euclides I-4)
5. (Euclides I-5)
13. (Euclides I-13)
15. (Euclides I-15)
26. dan zijn die driehoeken gelijk. (Euclides I-26)
27. Als een rechte lijn twee andere lijnen snijdt met even grote verwisselende hoeken, dan zijn die twee lijnen evenwijdig. (Euclides I-27)