De transcriptie begint halverwege bij Voorstel I. Het voorgaande staat op webpagina 162
I VoorstelBepaal de afstand van A naar B als je niet van A naar B kunt gaan. |
Inleiding Een landmeter staat op de oever van een rivier (bij punt A) met de opdracht om de afstand tot de overkant (punt B) te bepalen. Frans van Schooten weet raad. In zijn "Mathematische Oeffeningen" staat op bladzijde 162 een constructie om de afstand exact te bepalen. |
Verwante constructies Deze constructie is onderdeel van een verzameling aanverwante constructies. Meer informatie staat op webpagina 157. Dit is de vierde manier om de afstand AB te bepalen. De andere drie manieren staan op webpagina 157 (I), 158 (I) en 160 (I). Verantwoording afbeeldingen De afbeelding uit het boek bevat extra punten en lijnen die overbodig zijn bij deze constructie. Daarom is de oorspronkelijke afbeelding vereenvoudigd.
|
webpagina 157 (I)
Opdracht
Gegeven zijn twee punten A en B. Gevraagd wordt om de lengte van de afstand AB te bepalen zonder van A naar B te gaan.
topApplets
Bewijs
Te bewijzen is dat AB = GK.
Door de constructie met AC = CD = DF = FG
ontstaat de gelijkbenige driehoek ADG met middens C en F en deellijn DH.
Op webpagina 122 staat het bewijs dat DH de deellijn is van ∆ADG.
Omdat punt I op de deellijn ligt,
is ∆ADI = ∆GDI
want ze hebben een gelijke hoek in D en de aanliggende zijden zijn even lang:
AD = GD en DI = DI.
Daarom zijn de binnenhoeken gelijk, ∠DAI = ∠DGI,
en zijn de buitenhoeken gelijk ∠KGI = ∠BAI.
Dat ∆KGI = ∆BAI volgt uit de overstaande hoek in I,
de gelijke hoeken in A en G en de even lange zijden: AI = GI.
Gevolg is dat de overeenkomstige zijden even lang zijn: KG = AB.
Daarom is de op te meten afstand KG altijd gelijk aan de afstand AB die niet opgemeten kan worden
omdat B onbereikbaar is.
NB. De voorwaarde AC = CD en DF = FG is afdoende.
.