www.fransvanschooten.nl

Op deze bladzijde staat de tiende opdracht.
Een volgende opdracht voor leerlingen, staat op bladzijde 59.

opdracht 11

X

Zevenhoekig stuk land ABCDEFG is besloten door vierhoek HIKL met lijn IDK evenwijdig aan lijn HAGL. Daarvan zijn de afmetingen bekend: HB = 34 en BC = 85 en CI = 17 en ID = 42 en DK = 66 en KE = 13 en EF = 91 en FL = 26 en LG = 29 en GA = 160 en AH = 33.

Hoe groot is de oppervlakte van zevenhoek ABCDEFG?

tip

  1.   

    • tip

      Verdeel vierhoek HIKL in driehoek HIM en parallellogram IKLM.
      Bereken de oppervlakte van HIM en IKLM op de manier van bladzijde 55.


      Bereken vervolgens de oppervlakten van de driehoeken HAB, LFG, KDE en ICD
      op de manier van bladzijde 56.

      bladzijde 55
      bladzijde 56

antwoord

  1.   

    • antwoord

      Verdeel vierhoek HIKL in driehoek HIM en parallellogram IKLM met punt M op zijde HL. Bereken de lengte van de hoogtelijn IP uit punt I met punt M op zijde HM en bereken vervolgens de oppervlakte van HIM en IKLM op de manier van bladzijde 55.

      Noem HP = x en IP = y. Uit x² + y² = (34+85+17)² en ((33+160+29)−(42+66)−x)² + y² = (13+91+26)² volgt HP = x = 64 en BD = y = 120, waardoor de oppervlakte van driehoek HIM is ½ × 114 × 120 = 6840. en van parallellogram IKLM is de oppervlakte 108 × 120 = 12960. De oppervlakte van vierhoek HIKL is dus 6840 + 14160 = 19800.

      Bereken vervolgens de oppervlakten van de driehoeken HAB (met behulp van driehoek HMI), LFG (met behulp van driehoek LKM), KDE (met behulp van driehoek KIL) en ICD (met behulp van driehoek IHK) op de manier van bladzijde 56.

      De oppervlakte van driehoek HMI is 6840.
      De oppervlakte van driehoek HAB is
      34×33× 6840 = 495
      136114

      De oppervlakte van driehoek LKM is ½×12960 = 6480.
      De oppervlakte van driehoek LFG is
      29×26× 6480 = 348
      108130

      De oppervlakte van driehoek KIL is ½×12960 = 6480.
      De oppervlakte van driehoek KDE is
      66×13× 6840 = 396
      108130

      De oppervlakte van driehoek IHK is ½×108×120 = 6480.
      De oppervlakte van driehoek ICD is
      17×42× 6840 = 315
      136108

      De oppervlakte van veelhoek ABCDEFG is het verschil van de oppervlakte van vierhoek HIKL en die vier driehoeken HAB, LFG, KDE en ICD: 19800 − 495 − 348 − 396 − 315 = 18246.

      bladzijde 55
      bladzijde 56

opdracht 9

opdracht 11


 



 

berekening hoogtelijn in trapezium

Met algebra kan de hogtelijn van een trapezium uitgerekend worden. Hiernaast zijn de hoogtelijnen uit de punten I en L getrokken. De hoogtelijnen verdelen het trapezium in een rechthoek en twee driehoeken. De lengte van de hoogtelijn is x, de basis van de driehoeken zijn y en z en de lengte van diagonaal IL is v.

Het stelsel vergelijkingen is nu
x2 + y2 = 1362
x2 + (122 − y)2 = v2
x2 + z2 = 1302
x2 + (108 + y)2 = v2
 
Oplossing van dit stelsel is x = 120 en y = 64 en z = 50.
De lengte van de hoogtelijn is dus 120.
De oppervlakte van trapezium HIKL is dus ½(222 + 108) × 120 = 19800.


 



 

berekening zijden geheeltallig trapezium

Voor liefhebbers van nog meer trapezia (het chique meervoud van trapezium, trapeziums): door drie keer het recept van Euclides toe te passen, kun je drie geheeltallige rechthoekige driehoeken construeren met dezelfde hoogtelijn.
Kies drie getallen A, B en C met A > B > C en A < B × C, neem m = A × B en n = C zodat x = 2 × m × n en y = m2 − n2 en b = m2 + n2.
Evenzo, neem p = A × C en q = B zodat x = 2 × p × q (met x = 2 × m × n) en z = p2 − q2 en d = p2 + q2.
Evenzo, neem r = B × C en s = A zodat x = 2 × r × s (met x = 2 × m × n) en a − y = c − z = r2 − s2 en v = r2 + s2.

Neem bijvoorbeeld A = 5, B = 3, C = 2, dan m = 15 en n = 2 zodat hoogte x = 60. Uit y = m2 − n2 volgt y = 221 en schuine zijde b = 229.
Evenzo p = 10 en p = 10. Uit z = p2 − q2 volgt z = 91 en schuine zijde d = 109.
Evenzo r = 6 en s = 5. Uit v = r2 + s2 volgt v = 61 en a − y = c − z = 11.
Conclusie, vierhoek met zijden a = 232 en b = 229 en c = 102 en d = 109 is een trapezium met oppervlakte ½(232 + 102) × 60 = 10020.

recept Euclides

NB: In het voorbeeld van Frans van Schooten is de lengte van de diagonaal niet geheeltallig.


 


top