Plato en Pythagoreïsche Drietallen

Pythagoreïsche drietallen zijn drietallen (a,b,c) met a² + b² = c². Drietallen zijn op verschillende manieren te vinden, bijvoorbeeld door van alles te proberen, met de hand of met hulp van een computer. De oude Babyloniers en de oude Grieken, Pythagoras, Plato en Euclides kenden lang voor de jaartelling bepaalde formules.

Lees over Babylonische kleitabletten

Recept van Plato

Neem een geheeltallige m
Bereken rechthoekszijde a = 2 × m
Bereken rechthoekszijde b = m² − 1
Bereken langste zijde c = m² + 1

Dit recept wordt door Griekse auteurs van rond de jaartelling toegeschreven aan Plato. Bij W.R. Knorr vind je in zijn boek "The evolution if the Euclidean Elements" meer informatie.

Voorbeelden bij het recept van Plato

Onderstaande tabel bevat de eerste veertig driehoeksgetallen volgens het recept van Plato voor drietallen. In de linkerkolom staat de straal van de ingeschreven cirkel. Dat is tevens het rangnummer. In het midden staan de twee rechthoekszijden en rechts de langste zijde.

Uit m = 2 volgt dat a = 4, b = 3 en c = 5, terwijl r = 1.

Lees de toelichting op de straal van ingeschreven cirkels

zie ook de lange lijst

top

Opdracht

Bewijs met algebra dat je met het recept van Plato altijd Pythagorese drietallen maakt.

Antwoord
- Opdracht
  
  Bewijs met algebra dat je met het recept van Plato altijd Pythagorese drietallen maakt.
  
  Antwoord

Ingeschreven Cirkel

De straal van de ingeschreven cirkel van een geheeltallige rechthoekige driehoek is altijd geheeltallig. De formule voor de lengte van de straal is r = m − 1.

Lees de toelichting op de straal van ingeschreven cirkels

Recept van Pythagoras

Aan Pythagoras wordt het volgende recept toegeschreven:

Neem m geheeltallig
a = 2 × m + 1
b = 2 × m² + 2 × m
c = b + 1

Bewijs met algebra dat je met dit recept altijd Pythagorese drietallen maakt.