Verdeel een lijn in twee gelijke stukken

• Gegeven is:
  • BC = CD = DE = EF,
  • punt C ligt op lijn BD,
  • punten E en F liggen op lijn AD,
  • punt G is het snijpunt van de lijnen BE en CF,
  • punt H is het snijpunt van de lijnen BF en DG,
  • punt I is het snijpunt van de lijnen AB en CH.

1. Leg uit dat de lijnen BE en CF zwaartelijnen zijn en dat dus punt G een zwaartepunt is.
   
   Antwoord: een zwaartelijn is het lijnstuk dat een hoekpunt van een driehoek verbindt met het midden van de zijde er tegenover. Omdat BC = CD (gegeven), is punt C het midden van lijnstuk BD en dus is lijn CF een zwaartelijn. Omdat DE = EF (gegeven) is punt E het midden van lijnstuk DF en dus is lijn BE ook een zwaartelijn.
   Het zwaartepunt van een driehoek is het snijpunt van de drie zwaartelijnen (bewezen stelling^z). Punt G is het snijpunt van de zwaartelijnen BE en CF. Dus is punt G het zwaartepunt van driehoek BDF.
2. Leg uit waarom lijn DH ook een zwaartelijn is en dat dus BH = FH.
   
   Antwoord: Alle drie de zwaartelijnen gaan door één punt (bewezen stelling^z). Dus omdat BE en CF zwaartelijnen zijn (stap 1) met G als snijpunt, dan is de lijn door de punten D, G en H ook een zwaartelijn. Dus ligt punt H op het midden van lijn BF en dus zijn de helften BH en FH even lang: BH = FH.
3. Leg uit waarom lijn AD evenwijdig is aan lijn CH.
   
   Antwoord: Lijnstuk CH is een middenparallel omdat BC = CD (gegeven) en BH = FH (stap 2). Omdat het een middenparallel is, is lijn CH evenwijdig aan lijn AD.
4. Leg uit waarom ∆BDF een vergroting is van ∆BCH en bereken de vergrotingsfactor.
   
   Antwoord: De lijnen AD en CH zijn evenwijdig aan elkaar (stap 3) en snijdende lijnen maken ²⁹ F-hoeken: ∠BCH = ∠BDA en ∠BHC = ∠BFD. Daarom zijn ∆BDF en ∆BCH gelijkhoekig. Als driehoeken gelijk­vormig zijn, dan zijn alle overeen­komstige zijden met dezelfde factor vermenigvuldigd en dus ^6-4 een vergroting van elkaar.
   De aanliggende zijden verhouden zich als 2 : 1 want

   BD	=	FH	=	2
   BC		BH		1

   Daarom is ∆BDF een vergroting van ∆BCH met vergrotingsfactor 2.

5. Leg uit waarom ∆BDA een vergroting is van ∆BCI en bereken de vergrotingsfactor.
   
   Antwoord: ∆BDA is een vergroting van ∆BCI omdat ^6-4 de driehoeken gelijkhoekig zijn: gemeenschappelijke hoek B en gelijke F-hoeken omdat AD evenwijdig is aan CH (stap 3). De overeen­komstige zijden verhouden zich als: BD : BC = 2 : 1. De vergrotingsfactor is dus 2.
6. Leg uit waarom AI = BI.
   
   Antwoord: Omdat ∆BDA een vergroting is van ∆BCI met vergrotingsfactor 2 (stap 5) daarom AB : BI = 2 : 1 en omdat AI + BI = AB geldt dat AI = BI = ½ × AB. Dus is AI = BI.
7. Leg uit waarom het probleem van de twee boeren is opgelost
   
   Antwoord: Beide boeren wilden de helft van de weg aanleggen. Ze zochten daarom naar het punt halverwege de weg. Dat is punt I en de gelijke stukken zijn de lijnstukken AI en BI.

Proposities

0. De drie zwaartelijnen van een driehoek gaan door één punt, het zwaartepunt.

Proposities van Euclides

29. (Euclides I-29)
4. (Euclides VI-4)