De transcriptie betreft alleen II Voorstel.
Voorstel III staat op 
webpagina 164.
II VoorstelBepaal de plaats van een punt N op een lijn van A naar B, zodanig dat de afstand van A naar N gelijk is aan een gegeven lengte l, terwijl je niet van A naar B kunt gaan. |
Inleiding Een landmeter staat op de oever van een rivier (bij punt A) met de opdracht om een paal in de rivier te slaan (bij punt N). Opdracht is dat de paal komt in de richting van de kerktoren (in punt B) op zekere afstand l van de oever. Frans van Schooten weet raad. In zijn "Mathematische Oeffeningen" staat op bladzijde 163 een constructie om het punt exact te bepalen. Verwante constructies Deze constructie is onderdeel van een verzameling aanverwante constructies.
|
Verantwoording afbeeldingen De afbeelding hierboven staat niet in het boek "Mathematische Oeffeningen". De afbeelding die wel in de tekst staat, hoort namelijk niet bij de constructie die in de tekst beschreven wordt (vindt punt N met AN = GL), maar bij de constructie om gegeven punt N de lengte van afstand AN op te meten (vindt punt L met GL = AN). Ook het idee van het bootje staat niet op bladzijde 163, maar wel op bladzijde 166. De man in de boot laat zich sturen door twee mannen op de wal. De ene man stuurt de boot over kijklijn DCAB en de ander over kijklijn FM. |
animatie
Opdracht
Gegeven zijn twee punten A en B en een zekere lengte l. Gevraagd wordt om punt N zodanig op lijnstuk AB af te meten dat afstand AN = l.
topApplets
Bewijs
Te bewijzen is dat AN = GL.
Door de constructie met AC = CD = DF = FG
ontstaat de gelijkbenige driehoek ADG met middens C en F en deellijn DH.
Op webpagina 122 staat het bewijs dat DH de deellijn is van ∆ADG.
Omdat punt M op de deellijn ligt,
is ∆CDM = ∆FDM
want ze hebben een gelijke hoek in D en de aanliggende zijden zijn even lang:
DF = DC en DM = DM.
Daarom zijn de binnenhoeken gelijk, ∠DFM = ∠DCM,
en zijn de buitenhoeken gelijk ∠LFM = ∠NCM.
Dat ∆LFM = ∆NCM volgt uit de overstaande hoek in punt M,
de gelijke hoeken in de punten C en F en de even lange zijden: FM = CM.
Gevolg is dat de overeenkomstige zijden even lang zijn: LF = NC.
Omdat GF = AC is LG = NA
want LF = LG + GF = NC = NA + AC.
Conclusie is dat het gezochte punt N op afstand GL van punt A
het snijpunt van de kijklijnen AB en FM is.
NB. De voorwaarde AC = CD en DF = FG is afdoende.
.