Viète Opera Mathematica Zeteticorum

Viète heeft een groot aantal opdrachten uitgewerkt in de vorm, gegeven dit en dat, bereken de onbekenden, bijvoorbeeld gegeven som en verschil of gegeven product en quotiënt, bereken de onbekende getallen A en B. Hieronder staat een overzicht van alle combinaties die Viète uitgewerkt heeft. Voor de liefhebber zijn er nog genoeg combinaties te onderzoeken.

opdracht 1-1: gegeven som en verschil

opdracht x-4: gegeven quotiënt en verschil van de kwadraten
alle opdrachten
relaties
variabelen
derdegraadsvergelijkingen exact oplossen met algebra

Leerling opdrachten

Hieronder staan verwijzingen naar opdrachten. Die zijn zowel geformuleerd op de historische manier als in de moderne notatie van stelsels van vergelijkingen. Bij iedere opdracht staan voorbeelden en uitwerkingen. Het is weinig werk om zelf nieuwe opdrachten te maken: kies twee voor de leerling onbekende getallen A en B, bereken de bijbehorende som, verschil, etc en er is weer een nieuwe opdracht. Nieuwe opdrachten zijn zo gemaakt, oplossen is veel moeilijker. Vraag leerlingen expliciet om algebraïsche uitwerkingen. Veel problemen laten zich, na enig herleiden, oplossen met de grafische rekenmachine. Op een extra webpagina staan de ontbrekende opdrachten die Viète niet noemt, maar die voor leerlingen minstens zo interessant zijn. Deze opdrachten betreffen die waar een quotiënt gegeven is of waar de uitwerking vastloopt in een vergelijking van graad drie of hoger.

Opdrachten

Een selectie van de opdrachten gaat over som, verschil, product en quotiënt van twee getallen of hun kwadraten of hun derdemachten.

Derdegraadsvergelijkingen exact oplossen met algebra

top

Relaties

Bepaalde relaties komen herhaaldelijk terug. Het aantonen van de juistheid ervan is al een zinvolle oefening. In de eerste zeven rijen staan overeenkomstige relaties, waarbij in de eerste kolom enkelvoudige termen staan, in de tweede kwadratische en in de derde kolom de kubieke.

A = ½S + ½V

A² = ½K + ½D

A³ = ½T + ½U

B = ½S − ½V

B² = ½K − ½D

B³ = ½T − ½U

S² = V² + 4P

K² = D² + 4P²

T² = U² + 4P³

V² = S² − 4P

D² = K² − 4P²

U² = T² − 4P³

S + V = 2A

K + D = 2A²

T + U = 2A³

S − V = 2B

K − D = 2B²

T − U = 2B³

S² − V² = 4P

K² − D² = 4P²

T² − U² = 4P³

A =

√

½K + ½D

B =

√

½K − ½D

S² = K + 2P

S² =	4U − V³
3 V

V² = K − 2P

V² =	4T − S³
3 S

P =	U − V³
3 V

D = S · V

T = S · K − S · P

U = S · S − V · P

top

De driehoeken van Diophantos: François Viète en de Nieuwe Algebra

Ad Meskens en Nicole van der Auwera hebben in Diophantos van Alexandrie: De zes boeken van de Arithmetika een korte biografie van Viète opgenomen met een duiding van de relatie tussen Viète's Zeteticorum en Diophantos Arithmetika.
Hieronder staat enkele tekstfragmenten.

advertentie: De zes boeken van de Arithmetika

Zoals ieder goed boek, is ook dit boek uitverkocht.

In de wiskunde blijft Viète bekend als de vader van het rekenen met letters. Reeds voor 1600 had hij een efficiënte én coherente manier ontwikkeld om de algebra te gebruiken in zowel getaltheoretische als meetkundige problemen. Het was de laatste etappe in het op gelijke voet brengen van algebra en meetkunde.
François Viète werd geboren in 1540 in Fontenay-le-Comte. Hij liep school bij de franciscanen in Fontenay. In 1558 schreef hij zich in aan de universiteit van Poitiers om burgerlijk en canoniek recht te studeren. Reeds het volgende jaar haalde hij het baccalaureaat en de licentie, waarna hij een succesvol advocaat in zijn geboortestad werd. In 1564 werd hij secretaris van Jean en Antoinette de Partenay. Hij gaf ook privé-les wiskunde aan hun dochter Catherine. Catherine huwde met Charles de Quellenec. Na een ruzie met haar schoonzoon verhuisde Antoinette, en met haar ook Viète, naar La Rochelle, één van de bolwerken van de hugenoten. Het kon moeilijk anders of Viète kwam hier in contact met verschillende hugenoten, waaronder Hendrik van Navarra, de latere koning Hendrik IV, en zijn nicht Françoise de Rohan. Deze laatste nam Viète in dienst als juridisch raadgever. In deze, ook in Frankrijk, door religieuze twisten vertroebelde tijden wist Viète in het openbaar een neutrale positie in te nemen.

Vanaf 1591 werkte Viète aan een reeks boeken die samen het Opus restitutae mathematicae analyseos seu algebra nova (boek van de herstelde analyse of nieuwe algebra) moest worden. Deze reeks zou uit tien titels bestaan, waarvan er zeven verschenen zijn. In één van deze boeken, Zeteticorum libri quinque, richt Viète zijn aandacht o.a. op Diophantische vraagstukken als voorbeeld van zijn nieuwe oplossingsmethode. Dit boek is niet gedateerd en wordt vaak in één band met In Artem Analyticem Isagoge (1591) gebonden teruggevonden.

Viètes beschuldiging aan het adres van Diophantos dat hij een obscure schrijfstijl zou hebben, is een beschuldiging die veel lezers en commentatoren van de Arithmetika geuit hebben. Dit onbegrip voor Diophantos komt voort uit het feit dat we niet naar de Arithmetika kunnen kijken door de ogen van en met het stilistisch begrip van een wiskundige tijdgenoot van Diophantos. De beschuldiging valt in drie delen uiteen. Hoewel Diophantos een algemene oplossing belooft, lost hij de opgave met specifieke getalwaarden op. Indien hij voor deze waarden problemen ontmoet dan lost hij, zonder onderscheid met de oplossing van het probleem zelf, eerst dit deelprobleem op. De manier waarop Diophantos tot zijn voorstellen komt is voor de argeloze lezer enigmatisch. De voorgestelde getallen en parameters leiden inderdaad tot een oplossing, maar de reden van het voorstel wordt nooit duidelijk. De lezer heeft er het raden naar of Diophantos gebruik maakt van een algemeen algoritme. In Viètes toepassing van de algebra, langs een meetkundige weg die de algebra ook vaak vertroebelt, krijgen Diophantos' vraagstukken een algemene oplossing. Zijn bewijsstructuur zorgt er voor dat er geen deelproblemen uit de weg moeten worden geruimd en vinden we gewone vergelijkingen terug. Viète betaalt wel een prijs: dit is geen Diophantische getaltheorie meer.
Hij geeft een meetkundige interpretatie aan de rekenkundige opgaven, vaak via rechthoekige driehoeken.

top

Heath: Diophantus of Alexandria; a study in the history of Greek algebra

T.L. Heath geeft een vrije interpretatie van de wiskunde van Diophantus en schrijft de vergelijkingen modern op als vergelijkingen in de onbekende x. Heath verwijst niet naar Viète en ook niet naar Frans van Schooten.

Internet Archive: Heath: Diophantus of Alexandria; a study in the history of Greek algebra

top